[论文解读] Mean Field Asymptotic Behavior of Quantum Particles with Initial Correlations

V. I. Gerasimenko|Jul 7, 2014

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过分析广义量子动力学方程的平均场标度极限，严格推导出带有初始关联的量子 Vlasov 型动力学方程。它建立了两种等价方法——一种是通过由对偶量子 BBGKY 层次方程控制的约化可观测量，另一种是通过由广义量子动力学方程控制的一粒子密度算符，证明了在平均场动力学下初始关联会随时间传播。

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of the rigorous description of the kinetic evolution in the presence of initial correlations of quantum large particle systems. One of the developed approaches consists in the description of the evolution of quantum many-particle systems within the framework of marginal observables in mean field scaling limit. Another method based on the possibility to describe the evolution of states within the framework of a one-particle marginal density operator governed by the generalized quantum kinetic equation in case of initial states specified by a one-particle marginal density operator and correlation operators.

研究动机与目标

• 严格描述在存在初始关联（在凝聚量子气体中普遍存在）的情况下，量子多体系统的动力学演化。
• 将标准的量子动力学方程平均场推导方法扩展至非混沌假设（即不含初始关联）的情形。
• 在存在初始关联的条件下，建立约化可观测量的动力学与一粒子密度算符演化的联系。
• 证明带有初始关联的广义量子动力学方程在平均场极限下退化为量子 Vlasov 型方程。
• 通过基于可观测量和基于态的两种形式体系，数学上证明初始关联在平均场标度极限下随时间传播。

提出的方法

• 基于对偶量子 BBGKY 层次方程的形式体系，描述可观测量的平均场渐近行为。
• 使用非微扰解法技术处理量子 BBGKY 层次方程中的初始关联。
• 在平均场标度极限下，将对偶量子 Vlasov 层次方程作为对偶量子 BBGKY 层次方程的极限推导出来。
• 为由一粒子密度算符和关联算符指定的态构造广义量子动力学方程。
• 通过约化泛函的泛函表示，建立可观测量演化与态演化之间的等价性。
• 应用范数收敛性论证，证明广义量子动力学方程的解在平均场极限下收敛于带有初始关联的量子 Vlasov 型方程的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在初始关联时，如何严格描述量子多体系统的动力学演化？
• RQ2 带有初始关联的广义量子动力学方程的平均场极限是什么？它与量子 Vlasov 方程有何关系？
• RQ3 能否在平均场标度极限下数学上确立初始关联的传播？
• RQ4 在存在初始关联的条件下，约化可观测量的动力学与一粒子密度算符的演化之间存在何种关系？
• RQ5 在纯态情况下，所推导的带有初始关联的量子 Vlasov 型方程如何退化为 Gross–Pitaevskii 方程？

主要发现

• 带有初始关联的广义量子动力学方程在平均场标度极限下，导出带有初始关联的量子 Vlasov 型动力学方程。
• 对偶量子 Vlasov 层次方程作为对偶量子 BBGKY 层次方程在平均场极限下对可观测量的极限而出现。
• 通过态的约化泛函收敛于涉及一粒子密度算符和关联核的表达式，证明了在平均场动力学下初始关联随时间传播。
• 广义量子动力学方程的解级数在 $\epsilon \to 0$ 极限下以范数收敛于量子 Vlasov 型方程的解，确保了数学上的严格性。
• 对于纯态，当相互作用核为狄拉克函数时，所推导的量子 Vlasov 型方程退化为 Gross–Pitaevskii 型方程。
• 该方法能够系统构造平均场演化之上的高阶修正，突破了仅限于一阶近似的限制。