[论文解读] Mean-Field Delayed BSDEs with Jumps

Nacira Agram|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文证明了带跳和时变延迟生成器的平均场倒向随机微分方程解的存在性与唯一性，其中生成器依赖于解过程在过去延迟常数δ以内的值。通过在加权范数空间中使用不动点论证，作者在驱动器和终端条件满足Lipschitz条件的前提下，证明了当延迟δ足够小时，对于任意有限时间horizon T，解唯一存在。

ABSTRACT

We establish sufficient conditions for the existence and uniqueness of mean-field backward stochastic differential equations with time delayed generator in the sense that at t, the generator may depend on previous values up to a delay constant δ not on the hole past as in Delong and Imkeller [10], [13]. For sufficiently small delay constant δ and for any finite time horizon, we get a unique solution.

研究动机与目标

• 将平均场倒向随机微分方程（BSDEs）推广至包含生成器中时间延迟的情形。
• 解决生成器依赖于解过程过去值而非仅当前值的BSDE求解挑战。
• 在延迟与平均场依赖并含跳的情况下，建立解存在与唯一的充分条件。
• 通过将依赖限制为有限延迟δ而非整个过去路径，推广先前关于延迟BSDE的工作。
• 为金融与随机控制中代理人面临延迟信息的情形提供一个适用框架。

提出的方法

• 构建一个由布朗运动和Lévy过程（带补偿Poisson随机测度）驱动的平均场延迟BSDE（MF-DBSDE）。
• 引入一个使用指数权重e^{βt}的加权范数空间，以控制解过程的增长。
• 在适应过程的完备度量空间中应用不动点论证，证明解的存在性与唯一性。
• 对两个解差的平方范数应用Itô公式，导出先验估计。
• 应用广义Young不等式以控制Itô公式展开中的交叉项。
• 证明当延迟δ足够小时，压缩映射条件成立，从而保证存在唯一不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生成器依赖于解过程在过去有限延迟δ以内的值时，平均场延迟BSDE带跳在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 当延迟δ足够小时，即使存在跳和平均场成分，对于任意有限时间horizon T，解的存在性与唯一性是否仍可保证？
• RQ3 与仅含扩散的情形相比，包含具有Poisson随机测度的Lévy过程如何影响延迟平均场BSDE的可解性？
• RQ4 延迟结构（有限延迟与全路径依赖）在确保带跳的MF-DBSDE可解性中起何种作用？
• RQ5 能否将压缩映射原理应用于带跳和有限延迟的MF-DBSDE？在δ满足何种条件下可得到唯一解？

主要发现

• 当延迟δ足够小时，无论有限时间horizon T为何值，MF-DBSDE带跳和有限时间延迟δ均存在唯一解。
• 在驱动器和终端条件满足Lipschitz条件的前提下，解可保证存在，其中驱动器依赖于(Y, Z, K)的过去值及解过程的分布。
• 通过引入带有指数因子e^{βt}的加权范数，应用压缩映射原理，确保迭代格式的收敛性。
• 唯一性的关键条件是：e^{-βr}在[-δ, 0]上的积分乘以1/ρ小于1，该条件在δ足够小时成立。
• 该方法依赖于Itô公式和广义Young不等式来控制两个解之差，从而在加权L²空间中实现压缩。
• 结果适用于Agram和Øksendal引入的测度空间的希尔伯特空间，允许通过解过程的分布实现平均场依赖。