[论文解读] Mean-field density of states of a small-world model and a jammed soft spheres model

M. Pernici|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2020

Material Dynamics and Properties被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种用于软球体系在jamming附近振动态密度（DOS）的平均场随机块矩阵模型，结合了随机正则图与小世界短程连接。结果表明，参数 $ t = Z/d $ 的平移Kesten-McKay DOS能准确捕捉 $ d=3 $ 中的boson峰和低频平台，与 $ Z=7,8 $ 的分子动力学模拟结果一致，并再现了 $ K_3 ≈ 0.3 $ 时的等自由度平台，优于随机弹性网络模型。

ABSTRACT

We consider a class of random block matrix models in $d$ dimensions, $d \\ge 1$, motivated by the study of the vibrational density of states (DOS) of soft spheres near the isostatic point. The contact networks of average degree $Z = z_0 + \\zeta$ are represented by random $z_0$-regular graphs (only the circle graph in $d=1$ with $z_0=2$) to which Erd\\"os-Renyi graphs having a small average degree $\\zeta$ are superimposed. In the case $d=1$, for $\\zeta$ small the shifted Kesten-McKay DOS with parameter $Z$ is a mean-field solution for the DOS. Numerical simulations in the $z_0=2$ model, which is the $k=1$ Newman-Watts small-world model, and in the $z_0=3$ model lead us to conjecture that for $\\zeta \ o 0$ the cumulative function of the DOS converges uniformly to that of the shifted Kesten-McKay DOS, in an interval $[0, \\omega_0]$, with $\\omega_0 < \\sqrt{z_0-1} + 1$. For $2 \\le d \\le 4$, we introduce a cutoff parameter $K_d \\le 0.5$ modeling sphere repulsion. The case $K_d=0$ is the random elastic network case, with the DOS close to the Marchenko-Pastur DOS with parameter $t=\\frac{Z}{d}$. For $K_d$ large the DOS is close for small $\\omega$ to the shifted Kesten-McKay DOS with parameter $t=\\frac{Z}{d}$; in the isostatic case the DOS has around $\\omega=0$ the expected plateau. The boson peak frequency in $d=3$ with $K_3$ large is close to the one found in molecular dynamics simulations for $Z=7$ and $8$.

研究动机与目标

• 使用随机块矩阵方法对软球体系在jamming转变附近的振动态密度（DOS）进行建模。
• 通过平均场近似理解无序固体中boson峰和低频平台的起源。
• 通过引入角截断 $ K_d $ 来建模球体排斥力和排除体积效应，改进随机弹性网络模型。
• 检验参数 $ t = Z/d $ 的平移Kesten-McKay DOS是否能有效描述超静态和等自由度区域的DOS。
• 确定当 $ \zeta \to 0 $ 时，DOS在何种条件下一致收敛于平移Kesten-McKay形式。

提出的方法

• 在 $ z_0 $-正则图上构建随机块矩阵模型，并叠加平均度为 $ \zeta $ 的Erdős-Rényi图，形成平均配位数 $ Z = z_0 + \zeta $ 的小世界网络。
• 引入截断参数 $ K_d \leq 0.5 $ 来建模接触方向矢量之间的角相关性，以表示软球体系中的排除体积效应。
• 利用系统的Hessian矩阵，通过随机块矩阵的谱分析计算振动DOS。
• 应用腔方法和精确对角化，在 $ 2 \leq d \leq 4 $ 范围内模拟DOS，并与解析形式比较。
• 将模拟DOS与平移Kesten-McKay（SKM）和Marchenko-Pastur（MP）分布进行比较，尤其关注小 $ \omega $ 区域。
• 采用有效介质近似（EMA）和谱分布矩分析低频行为及boson峰位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \zeta \to 0 $ 时，$ z_0=2 $ 小世界模型的累积DOS是否在区间 $[0, \omega_0]$ 内一致收敛于平移Kesten-McKay DOS？
• RQ2 参数 $ t = Z/d $ 的平移Kesten-McKay DOS是否能准确描述软球体系在jamming附近的振动DOS，尤其在 $ d=3 $ 时？
• RQ3 引入角截断 $ K_d $ 对低频DOS以及平台或能隙的存在有何影响？
• RQ4 在 $ d=3 $ 中，$ Z=7,8,9 $ 时预测的boson峰频率与分子动力学模拟的定量一致性如何？
• RQ5 该模型是否能再现 $ \omega=0 $ 处的等自由度平台？$ K_3 $ 取何值时与模拟数据最匹配？

主要发现

• 在 $ d=1 $ 时，参数为 $ Z $ 的平移Kesten-McKay DOS是平均场解，且在区间 $[0, \omega_0]$ 内当 $ \zeta \to 0 $ 时累积DOS一致收敛于该形式，其中 $ \omega_0 < \sqrt{z_0 - 1} + 1 $。
• 在 $ z_0=2 $ 模型（Newman-Watts小世界）中，数值模拟支持该猜想：在 $ \zeta \to 0 $ 极限下，DOS一致收敛于SKM DOS。
• 在 $ 2 \leq d \leq 4 $ 范围内，当 $ K_d $ 较大时，小 $ \omega $ 区域的DOS与参数 $ t = Z/d $ 的SKM DOS高度吻合，尤其在等自由度情况下。
• 在 $ d=3 $ 时，SKM DOS预测的boson峰频率与分子动力学模拟结果高度一致，$ Z=7 $ 和 $ 8 $ 时差异仅约4%，$ Z=9 $ 时差异也极小。
• 当 $ K_3 \approx 0.3 $ 时，$ \omega=0 $ 处的等自由度平台被良好再现，其高度与分子动力学模拟中观察到的结果一致。
• 当 $ K_d $ 较大时，DOS在 $ \omega=0 $ 附近出现能隙，但比SKM DOS中的能隙更小，因此不满足 $ D(\omega) \sim \omega^4 $ 的关系，与 $ K_d=0 $（即随机弹性网络）情况不同。