[论文解读] Mean Field description of and propagation of chaos in recurrent multipopulation networks of Hodgkin-Huxley and Fitzhugh-Nagumo neurons

Javier Baladron, Diego Fasoli+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Neural dynamics and brain function参考文献 46被引用 19

一句话总结

本文严格推导了包含多个神经元群体的大型相互作用霍奇金-赫克斯利和菲茨休-休厄尔神经元网络的平均场方程，证明了混沌传播——即在无限规模极限下，有限神经元子集趋于独立。由此得到的非线性随机微分方程与非局部福克-普朗克方程描述了系统的宏观动力学，具有适定解，且在中等规模网络下也得到数值验证。

ABSTRACT

We derive the mean-field equations arising as the limit of a network of interacting spiking neurons, as the number of neurons goes to infinity. The neurons belong to a fixed number of populations and are represented either by the Hodgkin-Huxley model or by one of its simplified version, the Fitzhugh-Nagumo model. The synapses between neurons are either electrical or chemical. The network is assumed to be fully connected. The maximum conductances vary randomly. Under the condition that all neurons initial conditions are drawn independently from the same law that depends only on the population they belong to, we prove that a propagation of chaos phenomenon takes places, namely that in the mean-field limit, any finite number of neurons become independent and, within each population, have the same probability distribution. This probability distribution is solution of a set of implicit equations, either nonlinear stochastic differential equations resembling the McKean-Vlasov equations, or non-local partial differential equations resembling the McKean-Vlasov-Fokker- Planck equations. We prove the well-posedness of these equations, i.e. the existence and uniqueness of a solution. We also show the results of some preliminary numerical experiments that indicate that the mean-field equations are a good representation of the mean activity of a finite size network, even for modest sizes. These experiment also indicate that the McKean-Vlasov-Fokker- Planck equations may be a good way to understand the mean-field dynamics through, e.g., a bifurcation analysis.

研究动机与目标

• 推导具有生物物理现实性的神经元模型的循环多群体脉冲神经网络的平均场极限。
• 严格证明此类网络中的混沌传播，表明在无限规模极限下，神经元趋于独立同分布。
• 建立所得麦克斯韦-弗拉索夫型方程及其福克-普朗克对应方程的适定性。
• 通过数值方法验证平均场近似，证明其在有限、中等规模网络中仍具高精度。
• 为利用统计物理与随机过程分析神经元群体动力学提供数学框架。

提出的方法

• 通过神经元数量趋于无穷的极限过程推导平均场方程，假设每个群体内初始条件独立同分布。
• 利用局部利普希茨系数与李雅普诺夫型增长条件，将经典麦克斯韦-弗拉索夫理论推广至脉冲神经元模型。
• 应用沃瑟斯坦距离与大偏差技术，证明网络中的混沌传播。
• 建立所得非线性SDE与非局部福克-普朗克方程解的存在性与唯一性。
• 采用伯克霍尔德-戴维斯-冈迪与富比尼型论证，控制波动并证明收敛速率为 $1/\text{N}_{\text{min}}$。
• 进行数值实验，将有限网络活动与平均场解进行比较，确认在中等 $N$ 下的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均场极限是否能准确描述大型循环网络中霍奇金-赫克斯利与菲茨休-休厄尔神经元的宏观行为？
• RQ2 在具有异质性、相互作用的多群体网络中，混沌传播在何种条件下发生？
• RQ3 所推导的麦克斯韦-弗拉索夫型SDE与福克-普朗克方程是否适定，且具有唯一解？
• RQ4 平均场方程是否能捕捉有限规模网络的统计行为，即使神经元数量适中？
• RQ5 有限网络向平均场极限的收敛速率是否可定量界定，且是否按 $1/\sqrt{N}$ 规律缩放？

主要发现

• 平均场极限由一组类似于麦克斯韦-弗拉索夫方程的非线性随机微分方程描述，具有适定性且解唯一。
• 混沌传播被严格证明：在无限规模极限下，任意有限数量的神经元在每个群体内趋于独立同分布。
• 有限网络向平均场极限的收敛速率受 $K_3 / N_{\text{min}}$ 限制，其中 $N_{\text{min}}$ 为最小群体规模。
• 数值实验表明，即使在 $N \approx 100$ 个神经元时，平均场方程仍能准确反映有限网络的平均活动。
• 从平均场极限导出的非局部福克-普朗克方程适用于分岔分析与动力系统研究。
• 该框架将经典平均场理论扩展至具有局部利普希茨动力学与非线性相互作用的脉冲神经元模型，突破了传统全局利普希茨假设的限制。