[论文解读] Mean Field Games with Partial Information for Algorithmic Trading

Philippe Casgrain, Sebastian Jaimungal|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 13

一句话总结

本文提出了一种带有部分信息的均场博弈（MFG）框架，用于算法交易，其中异质代理人通过价格数据推断潜在市场状态，并在存在永久性与短期价格影响的情况下优化执行策略。通过凸分析，该文利用一个向量值前向-后向随机微分方程（FBSDE）推导出MFG均衡的闭式解，并证明该解在有限玩家博弈中构成一个$ε$-纳什均衡。

ABSTRACT

Financial markets are often driven by latent factors which traders cannot observe. Here, we address an algorithmic trading problem with collections of heterogeneous agents who aim to perform optimal execution or statistical arbitrage, where all agents filter the latent states of the world, and their trading actions have permanent and temporary price impact. This leads to a large stochastic game with heterogeneous agents. We solve the stochastic game by investigating its mean-field game (MFG) limit, with sub-populations of heterogeneous agents, and, using a convex analysis approach, we show that the solution is characterized by a vector-valued forward-backward stochastic differential equation (FBSDE). We demonstrate that the FBSDE admits a unique solution, obtain it in closed-form, and characterize the optimal behaviour of the agents in the MFG equilibrium. Moreover, we prove the MFG equilibrium provides an $ε$-Nash equilibrium for the finite player game. We conclude by illustrating the behaviour of agents using the optimal MFG strategy through simulated examples.

研究动机与目标

• 建模受潜在未观测因素影响的资产价格与交易决策的算法交易市场。
• 解决异质代理人之间在无法观测市场完整状态时，需从价格数据中推断潜在动态的战略互动问题。
• 在存在信息不对称的大规模交易环境中，为最优执行与统计套利策略提供可计算的解决方案。
• 建立MFG均衡作为有限玩家博弈中的$ε$-纳什均衡，确保在现实市场设定下的近似最优性。

提出的方法

• 构建一个具有异质代理人、在存在永久性与短期价格影响下交易单一资产的随机博弈模型。
• 引入均场博弈（MFG）极限，以近似大规模非合作代理人（具有部分信息）的行为。
• 直接对控制问题应用凸分析，避免使用随机最大值原理或动态规划方法，并推导出单一最优性条件。
• 通过均场过程耦合的向量值前向-后向随机微分方程（FBSDE）系统刻画最优策略。
• 以闭式解求解FBSDE系统，得到个体代理人控制与均场过程的显式表达式。
• 采用滤波技术，使代理人能够从观测到的价格路径中估计潜在状态，从而在不确定性下实现知情交易。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代理人缺乏对系统底层状态的完整信息时，如何在大规模市场中实现最优交易？
• RQ2 在具有部分信息与价格影响的均场博弈中，均衡策略的结构是怎样的？
• RQ3 MFG解如何近似有限规模代理人集合的行为？其均衡质量如何？
• RQ4 凸分析方法能否在不引入辅助过程或复杂PDE的情况下，直接刻画最优控制？
• RQ5 MFG均衡向有限玩家博弈中$ε$-纳什均衡的收敛速率是多少？

主要发现

• MFG均衡由一个向量值前向-后向随机微分方程（FBSDE）刻画，在模型假设下该方程具有唯一解。
• 最优控制与均场过程均以闭式表达，可直接计算代理人策略，无需数值求解PDE或HJB方程。
• MFG问题的解为有限玩家博弈提供$ε$-纳什均衡，误差项以$o(\delta_N) + o(N^{-1})$衰减，其中$\delta_N$为经验分布误差。
• 凸分析方法导出的单一最优性方程可直接刻画最优控制，避免了随机最大值原理中所需的辅助过程。
• 仿真结果表明，采用MFG策略的代理人能够有效学习潜在状态，并根据市场影响与信息不对称性调整其交易行为。
• 证明了经验均场过程向真实均场过程的收敛速度为$o(\delta_N^2)$，支持了MFG近似的有效性。