[论文解读] Mean field interaction on random graphs with dynamically changing multi-color edges

Erhan Bayraktar, Ruoyu Wu|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文研究了在时变随机图上具有动态变化的多色边的平均场相互作用粒子系统，其中节点动力学依赖于其他节点及其边的经验分布，而边动力学仅依赖于相连节点。关键贡献是建立了该系统的路径依赖型 McKean–Vlasov 极限定律，同时给出了大数定律、混沌传播以及中心极限定理，并在边动力学加速时给出了显式的误差界。

ABSTRACT

We consider weakly interacting jump processes on time-varying random graphs with dynamically changing multi-color edges. The system consists of a large number of nodes in which the node dynamics depends on the joint empirical distribution of all the other nodes and the edges connected to it, while the edge dynamics depends only on the corresponding nodes it connects. Asymptotic results, including law of large numbers, propagation of chaos, and central limit theorems, are established. In contrast to the classic McKean-Vlasov limit, the limiting system exhibits a path-dependent feature in that the evolution of a given particle depends on its own conditional distribution given its past trajectory. We also analyze the asymptotic behavior of the system when the edge dynamics is accelerated. A law of large number and a propagation of chaos result is established, and the limiting system is given as independent McKean-Vlasov processes. Error between the two limiting systems, with and without acceleration in edge dynamics, is also analyzed.

研究动机与目标

• 建立时变随机图上具有动态变化多色边的相互作用粒子系统的渐近规律——大数定律、混沌传播以及中心极限定理。
• 分析当边动力学被加速时的极限行为，表明系统收敛至独立的 McKean–Vlasov 过程。
• 量化加速边动力学与非加速边动力学下极限系统之间的误差。
• 刻画极限系统的路径依赖特性，即粒子演化依赖于其自身给定过去轨迹的条件分布。
• 为脑网络、流行病学模型以及 gossip 算法等复杂系统提供一个严谨的建模框架，其相互作用具有状态依赖性。

提出的方法

• 在随机图上构建弱相互作用跳跃过程的系统，其中节点状态 $X_i^n(t)$ 和边颜色 $\xi_{ij}^n(t)$ 通过依赖于状态的跳跃速率的泊松随机测度演化。
• 通过均场相互作用建模节点动力学，其中跳跃速率依赖于其他节点及其相连边的联合经验分布。
• 通过仅依赖于相连节点状态的速率函数 $eta(n) ilde{Γ}$ 建模边动力学，其中 $eta(n)$ 控制边跳跃速率的缩放。
• 应用 Girsanov 变测与对称统计量的渐近分析，推导波动过程的中心极限定理。
• 利用积分算子与预解技术刻画中心极限定理中的极限方差，特别是通过求解一个黎卡提方程。
• 采用 Gronwall 不等式与交换性论证，证明大数定律与混沌传播的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时变随机图上具有多色边的大规模相互作用粒子系统的极限行为，与经典 McKean–Vlasov 极限定律有何不同？
• RQ2 加速边动力学对极限系统有何影响？与原系统相比如何？
• RQ3 能否为具有内生公共噪声的该类平均场系统中的波动过程建立中心极限定理？
• RQ4 加速边动力学与非加速边动力学下极限系统之间的渐近误差是什么？
• RQ5 路径依赖特性（即粒子演化依赖于其自身过去轨迹的条件分布）如何影响系统长期行为？

主要发现

• 极限系统表现出路径依赖特性：粒子的演化依赖于其自身给定过去轨迹的条件分布，这使其与经典 McKean–Vlasov 极限定律相区别。
• 当边动力学被加速时，极限系统收敛至独立的 McKean–Vlasov 过程，且两个极限系统之间的误差有界并被显式量化。
• 为波动过程建立了中心极限定理，其极限方差由一个从线性算子预解式导出的黎卡提方程的解所刻画。
• 证明了大数定律与混沌传播，节点过程在 $L^1$-范数下的收敛速率为 $O(1/√{n})$。
• 极限边缘概率满足一个黎卡提方程，该方程控制波动过程的渐近方差。
• 波动过程弱收敛至一个高斯过程，其协方差结构由极限过程生成元的预解式决定。