[论文解读] Mean field propagation of infinite dimensional Wigner measures with a singular two-body interaction potential

Zied Ammari, Francis Nier|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 40被引用 34

一句话总结

本文建立了具有奇异两体相互作用势（包括库仑势）的多体玻色子系统中无限维Wigner测度的平均场传播。通过采用最优传输理论中的测度传输技术，证明了Wigner测度沿非线性Hartree流演化，扩展了以往仅限于有界势能的结果，并为量子多体系统中奇异相互作用提供了严格的相空间框架。

ABSTRACT

We consider the quantum dynamics of many bosons systems in the mean field limit with a singular pair-interaction potential, including the attractive or repulsive Coulombic case in three dimensions. By using a measure transportation technique, we show that Wigner measures propagate along the nonlinear Hartree flow. Such property was previously proved only for bounded potentials in our previous works with a slightly different strategy.

研究动机与目标

• 将多体量子系统的平均场极限扩展至包含奇异相互作用势（如库仑势）的情形。
• 在无限维设定下，建立Wigner测度沿非线性Hartree流传播的理论。
• 克服先前基于多项式逼近方法在处理奇异势能时的失效问题。
• 利用最优传输理论中的测度传输技术，处理相互作用势缺乏有界性的问题。
• 为具有奇异相互作用的玻色子量子多体系统提供平均场极限的严格相空间描述。

提出的方法

• 采用先前工作中引入的无限维Wigner测度框架，将系统视为相空间上的概率测度。
• 应用最优传输理论中的测度传输技术（特别是来自[AGS]的方法）以处理两体势的奇异性质。
• 使用小参数 $\varepsilon = 1/n$ 来建模当 $\varepsilon \to 0$ 且 $n \to \infty$ 时的平均场极限。
• 通过BBGKY层次方程及其在Wigner测度上的投影进行动力学分析，该测度满足一个封闭的非线性Liouville型方程。
• 利用规范不变性与相干态的结构，构造具有已知Wigner测度的显式例子。
• 采用第二量子化形式和Wick微积分计算迹极限，验证粒子数与能量可观测量的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在严格意义上建立奇异两体相互作用势（如库仑势）下Wigner测度的平均场传播？
• RQ2 在存在奇异相互作用时，如何克服多项式逼近技术的失效问题？
• RQ3 最优传输理论中的测度传输方法在多大程度上能够支持对非线性Hartree动力学下Wigner测度演化的分析？
• RQ4 对于具有奇异相互作用的系统，初始状态与演化后状态的Wigner测度具有怎样的几何结构？
• RQ5 Hartree方程的规范不变性如何影响Wigner测度的时间演化？

主要发现

• 即使对于奇异两体势，Wigner测度仍沿非线性Hartree流演化，推广了以往仅限于有界相互作用的结果。
• 测度传输技术成功替代了在相空间中对多项式逼近的需求，而后者在奇异势能下会失效。
• 对于振幅相等的双模相干态，初始Wigner测度为二维复子空间中环面上的均匀分布，表示为 $\mu_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \delta_{\psi_\varphi}^{S^1} d\varphi$。
• 时间演化后的Wigner测度仍支持于一个环面，表示为 $\mu_t = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \delta_{\psi_\varphi(t)}^{S^1} d\varphi$，其中 $\psi_\varphi(t)$ 满足Hartree方程。
• 约化密度矩阵收敛至 $\lim_{\varepsilon \to 0} \gamma_\varepsilon^{(p)}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |\psi_\varphi(t)^{\otimes p}\rangle\langle\psi_\varphi(t)^{\otimes p}| d\varphi$，在可观测量层面确认了平均场极限。
• 粒子数与能量迹分别收敛至1和 $\frac{1}{2}(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2)$，与初始状态的性质保持一致。