[论文解读] Mean Li-Yorke chaos in Banach spaces

Nilson C. Bernardes, A. Bonilla+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 29被引用 6

一句话总结

该论文确立了巴拿赫空间中的均值李-约克混沌由绝对均值不规则向量的存在所刻画，从而将其与类型2的分布混沌区分开来。论文证明了绝对Cesàro有界算子不可能是均值李-约克混沌的，并提供了稠密和典型的均值李-约克混沌的判据，包括具有完全均值不规则动力学的超循环和可逆算子的例子。

ABSTRACT

We investigate the notion of mean Li-Yorke chaos for operators on Banach spaces. We show that it differs from the notion of distributional chaos of type 2, contrary to what happens in the context of topological dynamics on compact metric spaces. We prove that an operator is mean Li-Yorke chaotic if and only if it has an absolutely mean irregular vector. As a consequence, absolutely Cesàro bounded operators are never mean Li-Yorke chaotic. Dense mean Li-Yorke chaos is shown to be equivalent to the existence of a dense (or residual) set of absolutely mean irregular vectors. As a consequence, every mean Li-Yorke chaotic operator is densely mean Li-Yorke chaotic on some infinite-dimensional closed invariant subspace. A (Dense) Mean Li-Yorke Chaos Criterion and a sufficient condition for the existence of a dense absolutely mean irregular manifold are also obtained. Moreover, we construct an example of an invertible hypercyclic operator $T$ such that every nonzero vector is absolutely mean irregular for both $T$ and $T^{-1}$. Several other examples are also presented. Finally, mean Li-Yorke chaos is also investigated for $C_0$-semigroups of operators on Banach spaces.

研究动机与目标

• 澄清巴拿赫空间算子中均值李-约克混沌与分布混沌之间的关系，特别是将其与DC2区分开来。
• 通过绝对均值不规则向量的存在来刻画均值李-约克混沌。
• 建立均值李-约克混沌为稠密或典型的条件，包括此类向量的稠密集合的判据。
• 研究$C_0$-半群在均值李-约克混沌下的行为，将离散算子的结果推广至连续情形。
• 构造超循环或混合但非均值李-约克混沌的算子与半群，或反之亦然的例子。

提出的方法

• 引入绝对均值不规则向量的概念：向量$x$满足$\liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \|T^j x\| = 0$且$\limsup_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \|T^j x\| = \infty$。
• 证明算子是均值李-约克混沌当且仅当其至少存在一个绝对均值不规则向量。
• 使用均值李-约克混沌判据识别具有此类向量稠密集合的算子。
• 应用贝尔纲定理证明稠密均值李-约克混沌等价于存在稠密（或剩余）的绝对均值不规则向量集合。
• 为单边加权后移算子建立二分法：所有轨道的Cesàro平均为零，或存在一个稠密的绝对均值不规则流形。
• 通过共轭及在具有可接受权函数的$L^p$空间上的加权平移算子，将结果推广至$C_0$-半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在巴拿赫空间中，均值李-约克混沌是否等价于类型2的分布混沌，如同在紧致度量空间中一样？
• RQ2 绝对Cesàro有界算子能否表现出均值李-约克混沌？
• RQ3 在何种条件下，一个均值李-约克混沌算子会拥有绝对均值不规则向量的稠密集合？
• RQ4 $C_0$-半群是否可能为均值李-约克混沌但非分布混沌？
• RQ5 是否存在超循环算子使得$T$和$T^{-1}$均为完全绝对均值不规则？

主要发现

• 在巴拿赫空间中，均值李-约克混沌并不等价于DC2，这与紧致度量空间中的情况不同。
• 算子是均值李-约克混沌当且仅当其至少存在一个绝对均值不规则向量。
• 绝对Cesàro有界算子绝不可能是均值李-约克混沌，因为此类算子无法拥有Cesàro平均无界的向量。
• 稠密均值李-约克混沌等价于存在稠密（或剩余）的绝对均值不规则向量集合。
• 每个均值李-约克混沌算子在其某个无限维闭不变子空间上都是稠密均值李-约克混沌的。
• 存在一个在$L^p(1,\infty)$上混合且绝对Cesàro有界的$C_0$-半群，但不是均值李-约克混沌的；同时存在一个分布混沌但非均值李-约克混沌的$C_0$-半群。