[论文解读] Mean-Square Convergence of a New Parameterized Leapfrog Scheme for Hamiltonian Systems Driven by Gaussian Process Potentials

Sourabh Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2026

Stochastic processes and financial applications被引用 0

一句话总结

论文证明了对带高斯过程势的哈密顿系统的参数化随机 leapfrog 方案在均方意义上的收敛性，在特定参数假设下实现一阶全局均方精度。

ABSTRACT

This paper establishes the mean-square convergence of a new stochastic, parameterized leapfrog scheme introduced in our companion paper Mazumder et al. (2026) for Hamiltonian systems with Gaussian process potentials. We consider a one-step numerical integrator and provide a complete, rigorous analysis under minimal regularity assumptions on the Gaussian potential. The key technical contribution is identifying and exploiting the symplectic structure ingrained in our stochastic, parameterized leapfrog method. Combined with local truncation error analysis, this leads to a global error bound of O(δt) in mean-square sense. Our results establish that although the spatio-temporal model of Mazumder et al. (2026) arises as the anticipated new stochastic leapfrog solution of a system of modified (parameterized) stochastic Hamiltonian equations, the new stochastic leapfrog actually solves the traditional stochastic Hamiltonian equations, driven by Gaussian process potential.

研究动机与目标

• 驱动带高斯过程势的哈密顿系统的数值积分研究。
• 引入并形式化参数化的随机 leapfrog 方案。
• 建立均方收敛性并给出全局误差界。
• 在最小正则性假设下推导修正的常微分方程描述及局部截断误差分析。
• 在精确的高斯过程假设下概述证明，并讨论对非参数势的影响。

提出的方法

• 给出带高斯过程势的原始哈密顿体系及带参数的 leapfrog 方案（y_{n+1}, x_{n+1}），参数为 alpha 和 beta。
• 进行逐样本路径的展开，以揭示一步更新和参数效应。
• 推导方案在 O(delta t^2) 量级内追踪的修正随机微分方程。
• 进行局部截断误差分析，以在均方意义上界定一步的差异。
• 证明一个主收敛定理，给出在有限时间区间内的均方收敛阶为 1。
• 利用高斯过程矩量界和 Borell–TIS 不等式控制 V 的导数并确保有限矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 该参数化的 leapfrog 方案在均方意义上收敛到带高斯过程势的确切哈密顿流吗？
• RQ2 均方收敛的阶数是多少，在何种参数取值下可以实现？
• RQ3 高斯过程导数界对稳定性和误差增长有何影响？
• RQ4 引入的 alpha 和 beta 参数如何影响修正方程与收敛速率？

主要发现

• 对修正后的 leapfrog 方案，在有限区间内确立了全球均方收敛阶为 1。
• 在 alpha1 = beta1 = 0 时，局部截断误差在均方意义上为 O(delta t^4)，与理想的一阶方法相一致。
• 存在描述该方案的修正连续时间 ODE，揭示参数驱动的对标准哈密顿动力学的修正。
• 导出了高斯过程导数的矩量界，确保分析所需的有限二阶矩。
• 分析表明该方案在均方意义上实际求解由高斯过程势驱动的传统随机哈密顿方程。