[论文解读] Mean square of zeta function, circle problem and divisor problem revisited

Jean Bourgain, Nigel Watt|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 32

一句话总结

本文通过引入受 [BW17] 第4节启发的改进方法，对黎曼ζ函数的均方、圆问题和除数问题的最新结果进行了精细化和拓展，通过涉及指数和与复分析的精细解析技术，改进了这些经典数论问题中的误差界和更精确的渐近估计。

ABSTRACT

This paper is closely related to the recent work [BW17] of the same authors and our purpose is to elaborate more on some of the results and methods from [BW17]. More specifically our goal is two-fold. Firstly, we will indicate how a simple variant related to Section 4 in [BW17] leads to the following improvements of Theorem 3 in [BW17]

研究动机与目标

• 改进 [BW17] 中研究的黎曼ζ函数均方误差估计。
• 通过 [BW17] 方法的变体，进一步优化圆问题的渐近估计。
• 通过对外指数和的改进处理，提升除数问题的误差项。
• 统一并加强应用于这三个经典数论问题的解析技术。
• 通过采用 [BW17] 方法的改进版本，获得更紧的界和更精确的渐近展开。

提出的方法

• 改编并修改 [BW17] 第4节的方法，以改进误差项的估计。
• 应用复分析技术，特别是围道积分和佩龙公式，推导均方估计。
• 使用改进误差界指数和估计，以优化除数问题和圆问题中的误差项。
• 利用ζ函数的近似函数方程，将均方表达为光滑和的形式。
• 引入 Voronoi 求和公式的变体，以更有效地处理振荡项。
• 结合平稳相位法与 van der Corput 方法，分析圆问题和除数问题中出现的指数和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 [BW17] 方法的改进版本，进一步改善黎曼ζ函数均方误差项？
• RQ2 通过该变体方法，圆问题的渐近公式可实现哪些优化？
• RQ3 在相同精细技术下，除数问题的误差项可被多大程度地优化？
• RQ4 这三个问题中改进的界在底层解析结构上如何相互关联？
• RQ5 [BW17] 的方法能否系统性地增强，以在这些经典问题中获得最优或近似最优的误差项？

主要发现

• 本文在黎曼ζ函数的均方中实现了更紧的误差项，优于 [BW17] 定理3中的界。
• 获得了圆半径为 r 的格点个数的更精细估计，其误差项小于此前已知结果。
• 通过在 Voronoi 型求和中更精确地处理指数和，改进了除数问题的误差项。
• 该方法在所有三个问题中均实现了误差项的统一改进，暗示了更深层的内在联系。
• 改进的界在不增加主要解析工具复杂度的前提下获得，保持了该方法的高效性。
• 结果表明，对 [BW17] 方法的微小修改即可在经典数论问题中带来显著的定量提升。