[论文解读] Means and medians of sets of persistence diagrams

Katharine Turner|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文通过使用Lp型度量，为持久图集引入了均值和中位数等统计度量，实现了在拓扑数据分析中对中心趋势的稳健估计。证明了具有有限个非对角点的持久图的均值在一般情况下唯一，而中位数在正测度集合上可能不唯一。

ABSTRACT

The persistence diagram is the fundamental object in topological data analysis. It inherits the stochastic variability of the data we use as input. As such we need to understand how to perform statistics on the space of persistence diagrams. This paper looks at the space of persistence diagrams under a variety of different metrics which are analogous to L p metrics on the space of functions. Using these metrics we can form different cost functions defining different central tendencies and their corresponding measures of variability. This gives us the natural definitions of both the mean and median of a finite number of persistence diagrams. We give a characterization of the mean and the median of an odd number of persistence diagrams. Although we have examples of the mean not being unique nor continuous we prove that generically the mean of sets of persistence diagrams with finitely many off diagonal points is unique. In comparison the sets of persistence diagrams with finitely many off diagonal points which do not have a unique median is of positive measure.

研究动机与目标

• 为持久图建立严谨的统计框架，持久图在拓扑数据分析中具有核心地位。
• 解决在缺乏自然向量空间结构的持久图空间中定义中心趋势的挑战。
• 在各种Lp型度量下，表征有限个持久图集的均值和中位数。
• 在持久图的背景下，研究这些中心趋势度量的唯一性和连续性性质。

提出的方法

• 在持久图空间上使用Lp型度量，类似于函数上的Lp范数，以定义图之间的距离。
• 将有限个持久图集的均值定义为基于所选度量下平方距离和的代价函数的最小化器。
• 将中位数定义为到集合中所有图的距离之和的最小化器，类似于L1估计。
• 应用几何和测度论论证，分析均值和中位数的通用唯一性。
• 考虑具有有限个非对角点的图，聚焦于解空间的结构。
• 利用度量几何和最优传输理论的结果，分析最小化器的存在性和唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，有限个持久图集的均值是唯一的？
• RQ2 有限个持久图集的中位数在唯一性方面表现如何？
• RQ3 持久图上的Lp度量结构与由此产生的统计度量之间有何关系？
• RQ4 是否存在均值或中位数不唯一的可测图集？
• RQ5 在拓扑数据分析背景下，均值和中位数在稳定性与鲁棒性方面如何比较？

主要发现

• 尽管某些情况下存在非唯一性和不连续性，但具有有限个非对角点的有限持久图集的均值在一般情况下是唯一的。
• 中位数不唯一的持久图集合（具有有限个非对角点）具有正测度，表明非唯一性并非罕见现象。
• 均值并不总是连续的，因为输入图的微小扰动可能导致均值发生不连续变化。
• 中位数比均值更容易出现非唯一性，非唯一中位数出现在正测度集合上。
• 在持久图上使用Lp型度量，可实现明确定义的中心趋势概念，且均值在通用唯一性方面更具稳定性。
• 本文为持久图的统计分析建立了理论基础，支持在实际的拓扑数据分析流程中使用均值和中位数。