[论文解读] Measure and integration on Boolean algebras of regular open subsets in a topological space

Marcus Pivato, Vassili Vergopoulos|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文提出了在拓扑空间中正则开集的布尔代数上，对有限可加测度（内容）的积分与表示理论。研究表明，此类内容可由正常博雷尔测度与指定边界测度共享的边缘结构共同表示，并建立了内容空间、其Stone空间与Gleason概率空间之间的函子关系。

ABSTRACT

The regular open subsets of a topological space form a Boolean algebra, where the `join' of two regular open sets is the interior of the closure of their union. A `credence' is a finitely additive probability measure on this Boolean algebra, or on one of its subalgebras. We develop a theory of integration for such credences. We then explain the relationship between credences, residual charges, and Borel probability measures. We show that a credence can be represented by a normal Borel measure, augmented with a `liminal structure', which specifies how two or more regular open sets share the probability mass of their common boundary. In particular, a credence on a locally compact Hausdorff space can be represented by a normal Borel measure and a liminal structure on the Stone-Čech compactification of that space. We also show how credences can be represented by Borel measures on the Stone space of the underlying Boolean algebra of regular open sets. Finally, we show that these constructions are functorial.

研究动机与目标

• 开发定义在拓扑空间中正则开集布尔代数上的有限可加测度（内容）的积分理论。
• 阐明内容、剩余测度与经典博雷尔测度之间的关系。
• 证明在局部紧致豪斯多夫空间上，内容可由正常博雷尔测度与Stone-Čech紧化上的边缘结构表示。
• 证明在正则开集的布尔代数上的内容可由该代数的Stone空间上的博雷尔测度表示。
• 建立内容空间、其紧化形式与Gleason概率空间之间的函子关系。

提出的方法

• 使用并集的闭包的内部定义正则开集族的布尔代数结构，其中并运算为该内部。
• 将内容定义为该布尔代数上的有限可加实值函数，推广经典测度概念。
• 为关于此类内容的实值函数构建积分理论。
• 通过在Stone-Čech紧化上定义正常博雷尔测度，并附加编码共享边界测度的边缘结构，实现内容的表示。
• 利用Stone空间构造，将内容表示为正则开集布尔代数的Stone空间上的博雷尔测度。
• 通过定义从全内容空间范畴到紧致全内容空间范畴与Gleason概率空间范畴的函子，建立函子性，保持态射与测度结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用经典博雷尔测度与附加结构，表示布尔代数上正则开集的有限可加内容？
• RQ2 边缘结构在捕捉正则开集公共边界上的测度论行为中起什么作用？
• RQ3 内容的积分理论能否系统地建立，并与标准测度论概念相联系？
• RQ4 Stone空间与Stone-Čech紧化构造如何促进内容作为博雷尔测度的表示？
• RQ5 内容空间、其紧化形式与Gleason概率空间之间存在何种函子关系？

主要发现

• 在局部紧致豪斯多夫空间上，内容可由其Stone-Čech紧化上的正常博雷尔测度与指定共享边界测度的边缘结构表示。
• 正则开集布尔代数的Stone空间支持一个博雷尔测度，该测度表示原始内容。
• 将全内容空间映射到紧致全内容空间的函子β是忠实的，保持态射结构。
• 将全内容空间映射到Gleason概率空间的函子σ也是忠实的，且完全布尔代数的Stone空间是极端不连通的。
• 通过Stone空间上的博雷尔测度表示内容，可在内容代数与Stone空间上的测度代数之间建立典范同构。
• 边缘结构的构造确保了重叠的正则开集一致共享其边界测度，从而解决了经典测度论中的拓扑病态问题。