[论文解读] Measure and Probability in Cosmology

Joshua Schiffrin, Robert M. Wald|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文批判性地审视了从广义相对论哈密顿形式中使用刘维尔测度来计算宇宙学中概率的做法，特别是关于暴胀可能性的问题。它指出了四个主要缺陷：在宇宙学尺度上缺乏均衡化，相空间测度无限导致需要任意正则化，对非均匀自由度的贡献重视不足，以及在热力学不对称宇宙中无法实现反演推断。

ABSTRACT

General relativity has a Hamiltonian formulation, which formally provides a canonical (Liouville) measure on the space of solutions. In ordinary statistical physics, the Liouville measure is used to compute probabilities of macrostates, and it would seem natural to use the similar measure arising in general relativity to compute probabilities in cosmology, such as the probability that the universe underwent an era of inflation. Indeed, a number of authors have used the restriction of this measure to the space of homogeneous and isotropic universes with scalar field matter (minisuperspace)---namely, the Gibbons-Hawking-Stewart measure---to make arguments about the likelihood of inflation. We argue here that there are at least four major difficulties with using the measure of general relativity to make probability arguments in cosmology: (1) Equilibration does not occur on cosmological length scales. (2) Even in the minisuperspace case, the measure of phase space is infinite and the computation of probabilities depends very strongly on how the infinity is regulated. (3) The inhomogeneous degrees of freedom must be taken into account (we illustrate how) even if one is interested only in universes that are very nearly homogeneous. The measure depends upon how the infinite number of degrees of freedom are truncated, and how one defines "nearly homogeneous." (4) In a universe where the second law of thermodynamics holds, one cannot make use of our knowledge of the present state of the universe to "retrodict" the likelihood of past conditions.

研究动机与目标

• 批判性评估从广义相对论的正则刘维尔测度出发计算宇宙学生概率的有效性。
• 识别并分析将测度论概率应用于宇宙学时存在的根本性概念与技术问题。
• 证明在极小超空间上使用的吉布斯-霍金-斯图尔特（Gibbons-Hawking-Stewart, GHS）测度因测度无限和规范依赖性而失效。
• 论证在具有低熵过去的宇宙中，基于轨迹计数的反演推断是无效的。
• 主张应基于简洁性和预测能力而非基于测度的概率性来为宇宙学假说提供替代性依据。

提出的方法

• 对广义相对论哈密顿形式中刘维尔测度的形式分析，包括通过相空间上的辛形式构造该测度。
• 将该测度应用于极小超空间（具有标量场的均匀各向同性宇宙），从而导出吉布斯-霍金-斯图尔特（Gibbons-Hawking-Stewart, GHS）测度。
• 识别出在约束曲面上辛形式的退化性，以及必须对规范轨道进行商化，而这消除了时间演化。
• 通过分析FLRW时空周围的微扰（标量、矢量、张量模式）来研究非均匀自由度的影响及其对辛结构的贡献。
• 使用轨迹计数论证来说明在热力学不对称系统中反演推断的失败。
• 论证只有预测能力和简洁性——而非基于测度的概率性——才能为早期宇宙的假说提供依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论相空间中的刘维尔测度能否可靠地用于计算暴胀等宇宙学事件的概率？
• RQ2 为什么相空间总测度无限会使得基于GHS测度的概率计算失效？
• RQ3 即使在近乎均匀的宇宙中，非均匀自由度如何影响测度以及暴胀的概率？
• RQ4 为什么在受热力学第二定律支配的宇宙中，基于轨迹计数的反演推断是无效的？
• RQ5 如果基于测度的概率性失效，应使用何种标准来为早期宇宙的假说提供依据？

主要发现

• 在无限维设置下，若无正则化，广义相对论相空间上的刘维尔测度是未定义的，且概率对截断参数的选择极为敏感。
• 吉布斯-霍金-斯图尔特测度因极小超空间的测度无限而失效，使得概率计算在无任意正则化的情况下是病态的。
• 即使在近乎均匀的宇宙中，非均匀自由度也会显著改变测度，其贡献无法被忽略。
• 轨迹计数论证能正确预测未来演化，但在热力学不对称宇宙中作为反演推断则失败，因为熵随时间倒流而减小。
• 反演推断无法用于推断过去条件；相反，对早期宇宙的假说必须基于简洁性和预测成功来加以辩护，而非基于测度论的概率性。
• 评估早期宇宙情景的唯一可行方式是通过简洁、优美的假说，这些假说能成功预测当前观测结果，而非依赖于相空间测度的概率性论证。