[论文解读] Measure rigidity and $p$-adic Littlewood-type problems

Manfred Einsiedler, Dmitry Kleinbock|ArXiv.org|Jun 24, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文利用齐性动力系统中的测度刚性技术，证明了违反 $p$-进 Littlewood 型猜想的实数集合的 Hausdorff 维数为零。研究结果表明，广义 $p$-进丢番图逼近问题的例外集在分形意义下极为微小，扩展了对二次无理数的结果，并证实了几乎所有实数均满足该猜想的强形式。

ABSTRACT

The paper investigates various $p$-adic versions of Littlewood's conjecture, generalizing a set-up considered recently by de Mathan and Teulie. In many cases it is shown that the sets of exceptions to these conjectures have Hausdorff dimension zero. The proof follows the measure ridigity approach of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss.

研究动机与目标

• 研究丢番图逼近中 Littlewood 猜想的 $p$-进推广。
• 确定违反这些 $p$-进逼近性质的实数例外集的大小。
• 将测度刚性理论应用于 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 上的更高秩 $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$-作用。
• 证明 $p$-进 Littlewood 型问题的例外集的 Hausdorff 维数为零。
• 将框架扩展至更一般的 $\mathcal{D}$-进范数和更高秩的阿代尔群。

提出的方法

• 采用 Einsiedler、Katok 和 Lindenstrauss 的测度刚性方法，分析 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 上的不变测度。
• 应用动力学刻画：当且仅当齐性空间中某些轨道在单参数作用下有界时，$u$ 不满足 $p$-进条件。
• 分析在 $\alpha^{(t,n)} = \left(\begin{smallmatrix}e^{-t}& \\ & e^t \end{smallmatrix}\right) \times \left(\begin{smallmatrix}a^n& \\ & a^{-n} \end{smallmatrix}\right)$ 作用下不变测度的熵。
• 利用实数与 $p$-进因子上交换作用的熵可加性，依赖条件测度与 Lyapunov 权重。
• 将丢番图问题约化为具有正熵的不变测度的分类问题。
• 利用唯一具有正熵的此类测度为 Haar 测度的事实，表明例外集在维数上必然极小。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否所有实数都满足 $p$-进 Littlewood 型条件 $\liminf_{q \to \infty} |q| \cdot |q|_p \cdot \langle qu \rangle = 0$？
• RQ2 违反此 $p$-进逼近性质的实数集合的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 测度刚性方法能否推广至 $\mathcal{D} = \{a^n\}$ 的 $\mathcal{D}$-进范数？
• RQ4 使得 $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_p = 0$ 不成立的实数对 $(u,v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Q}_p$ 的集合是否也具有零维数？
• RQ5 能否利用 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_S)$ 上 $\mathbb{Q}_S = \prod_{p_i | a} \mathbb{Q}_{p_i}$ 的动力系统来分类广义 $p$-进丢番图逼近中的例外集？

主要发现

• 满足 $\liminf_{q \to \infty} |q| \cdot |q|_p \cdot \langle qu \rangle > 0$ 的实数 $u$ 的集合的 Hausdorff 维数为零。
• 该例外集是若干盒维数为零的集合的可数并，表明其在分形意义下极为微小。
• 对任意 $v \in \mathbb{Q}_p$，使得 $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_p = 0$ 不成立的 $u \in \mathbb{R}$ 的集合，同样是盒维数为零的集合的可数并。
• 该结果可推广至 $\mathcal{D} = \{a^n\}$ 的 $\mathcal{D}$-进范数，其中完备化为 $\mathbb{Q}_S$，$S$ 为 $a$ 的素因子集合。
• 广义条件 $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_{\mathcal{D}} = 0$ 的例外集的 Hausdorff 维数为零。
• 证明依赖于唯一具有正熵的 $\alpha$-不变遍历概率测度为 Haar 测度的事实，表明非例外轨道是典型的。