[论文解读] Measure rigidity for random dynamics on surfaces with positive entropy

Aaron Brown, Federico Rodriguez Hertz|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文为具有正熵的随机动力系统在曲面上的平稳测度建立了测度刚性二分法：要么稳定分布是非随机的，要么该测度是西奈-鲁列-鲍文（SRB）测度。在额外的不变性假设下，若平稳测度具有正熵且稳定分布是非随机的，则该测度与光滑不变测度的一个遍历分量一致。该结果通过斜积动力系统和纤维方向的绝对连续性，将确定性情形下的刚性原理推广至随机设定。

ABSTRACT

Given a surface $M$ and a Borel probability measure $ν$ on the group of $C^2$-diffeomorphisms of $M$, we study $ν$-stationary probability measures on $M$. Assuming the positivity of a certain entropy, the following dichotomy is proved: either the stable distributions for the random dynamics is non-random, or the measure is SRB. In the case that $ν$-a.e. diffeomorphism preserves a common smooth measure $m$, we show that for any positive-entropy stationary measure $μ$, either there exists a $ν$-almost surely invariant $μ$-measurable line field (corresponding do the stable distributions for almost every random composition) or the measure $μ$ is $ν$-almost surely invariant and coincides with an ergodic component of $m$. To prove the above result, we introduce a skew product with surface fibers over a measure preserving transformation equipped with an increasing sub-$σ$-algebra $\hat F$. Given an invariant measure $μ$ for the skew product, and assuming the $\hat F$-measurability of the `past dynamics' and the fiber-wise conditional measures, we prove a dichotomy: either the fiber-wise stable distributions are measurable with respect to a related increasing sub-$σ$-algebra, or the measure $μ$ is fiber-wise SRB.

研究动机与目标

• 为具有正度量熵的曲面上随机动力系统中的平稳测度建立二分法。
• 确定此类测度为SRB测度或与非随机稳定分布相关联的条件。
• 将确定性设定下的测度刚性结果推广至随机设定，特别是当存在光滑不变测度时。
• 通过斜积动力系统和纤维方向条件期望分析平稳测度的结构。
• 证明在熵为正且稳定分布为非随机的条件下，平稳测度必为光滑不变测度的一个遍历分量。

提出的方法

• 在保测变换上构造一个具有递增子σ代数的斜积系统，以建模曲面纤维上的随机动力系统。
• 为斜积系统定义一个不变测度μ，并分析纤维方向稳定分布关于递增子σ代数的可测性。
• 使用改进的指数漂移方法，并结合非一致双曲性的工具，控制李雅普诺夫指数的增长。
• 应用稳定流形上横截绝对连续性的霍尔诺米映射，将遍历域与纤维上的勒贝格测度联系起来。
• 利用逐点遍历定理和连续函数的可分性，刻画平稳测度的遍历域。
• 证明若稳定分布为非随机且熵为正，则平稳测度必为SRB测度；在不变性条件下，其等于光滑不变测度的一个遍历分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机曲面动力系统中具有正熵的平稳测度必为SRB测度，或与非随机稳定分布相关联？
• RQ2 当存在共同的光滑不变测度时，它如何影响正熵平稳测度的结构？
• RQ3 稳定分布关于递增子σ代数的可测性在决定平稳测度性质方面起什么作用？
• RQ4 能否利用平稳测度的遍历域来重构该测度为光滑不变测度的一个遍历分量？
• RQ5 在斜积系统中，纤维方向的绝对连续性与霍尔诺米映射在多大程度上能推出随机动力系统中的测度刚性？

主要发现

• 若稳定分布为非随机且平稳测度具有正熵，则该测度为SRB测度。
• 当ν-几乎处处的微分同胚保持光滑测度m，且平稳测度μ具有正熵时，要么稳定分布为非随机（意味着μ为SRB测度），要么μ为ν-几乎处处不变，并与m的一个遍历分量一致。
• 平稳测度的遍历域在典型纤维上具有正勒贝格测度，意味着该测度在纤维结构中几乎处处支撑。
• 在稳定分布为非随机且熵为正的假设下，证明了平稳测度μ等于光滑不变测度m的一个遍历分量m₀。
• 证明依赖于斜积设定中稳定流形上霍尔诺米映射的绝对连续性，从而可将测度论性质从基空间传递至纤维。
• 最终结果表明μ = m₀，确认在给定条件下，唯一可能的正熵平稳测度即为光滑不变测度的遍历分量。