[论文解读] Measure rigidity of synthetic lower Ricci curvature bound on Riemannian manifolds

Bang-Xian Han|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 7

一句话总结

该论文通过证明CD(K,∞)条件蕴含定义域的测地凸性，且仅对对数半凹参考测度存在位移凸性，从而在带边界的黎曼流形上建立了合成下界Ricci曲率的测度刚性。利用L¹最优传输与Bakry-Émery微分几何，证明了只有对数凹测度能使熵泛函具有K-位移凸性，从而在ℝⁿ及更广的维度无关设定下解决了长期悬而未决的猜想。

ABSTRACT

In this paper we investigate Lott-Sturm-Villani's synthetic lower Ricci curvature bound on Riemannian manifolds with boundary. We prove several measure rigidity results for some important functional and geometric inequalities, which completely characterize ${ m CD}(K, \infty)$ condition and non-collapsed ${ m CD}(K, N)$ condition on Riemannian manifolds with boundary. In particular, using $L^1$-optimal transportation theory, we prove that ${ m CD}(K, \infty)$ condition implies geodesical convexity.

研究动机与目标

• 解决如下猜想：在有界区域Ω ⊂ (M,g)上CD(K,∞)蕴含Ω关于内在距离d_Ω的测地凸性，且测度关于Vol_g绝对连续。
• 刻画在带边界的黎曼流形上，合成CD(K,∞)设定下熵的位移凸性成立的参考测度类。
• 确立在维度无关设定下，仅对数（半）凹测度能导致熵的K-位移凸性，即使在ℝⁿ上亦然。
• 证明在(Ω, d_Ω, m)上CD(K,∞)条件蕴含m|∂Ω = 0，且(Ω, d_Ω, m)为无穷小Hilbertian并满足RCD(K,∞)。
• 利用L¹最优传输与条件测度正则性，从非凸性假设导出矛盾，从而证明测地凸性。

提出的方法

• 通过结合Bakry-Émery的修正Ricci张量与边界第二基本形式，在带边界的流形上构造测度值Ricci张量。
• 应用非光滑度量测度空间工具，在带边界的(Ω, d_Ω, m)上定义Γ-微分几何与Γ₂-不等式。
• 利用Fubini定理与条件测度的正则性，从Wasserstein空间中的测地线段构造L¹最优耦合。
• 构造循环单调耦合（Cpl^{1,2}_σ, Cpl^{1,3}_σ），以在W₂(Ω, d_Ω)中生成具有一致有界密度的测地线段。
• 应用Rauch比较定理，限制测地线中支撑体积的增长，从而在假设非凸性时导出矛盾。
• 应用文献[27]中的引理3.1，将W₂(Ω, d_Ω)中的测地线提升为具有有界密度的测地线，通过σ^n ≳ σ实现矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在CD(K,∞)条件下，黎曼流形带边界的Bakry-Émery Γ-微分几何的正确表述为何？
• RQ2 在带边界的黎曼流形上，哪些参考测度m = e^{-V}Vol_g满足合成CD(K,∞)设定下熵的K-位移凸性？
• RQ3 在(Ω, d_Ω, m)上CD(K,∞)条件是否蕴含Ω关于内在距离d_Ω测地凸？
• RQ4 测度m是否必然关于Ω上的Vol_g绝对连续，且在边界上为零？
• RQ5 L¹最优传输能否在不假设光滑性或非坍缩性条件下，用于从CD(K,∞)条件证明测地凸性？

主要发现

• 在(Ω, d_Ω, m)上CD(K,∞)条件蕴含定义域Ω关于d_Ω测地凸。
• 测度m必须具有形式e^{-V}Vol_g，其中V为Lipschitz函数，且m|∂Ω = 0。
• 对数（半）凹测度是唯一能使熵泛函在黎曼流形上具有K-位移凸性的参考测度，即使在维度无关设定下亦然。
• CD(K,∞)条件蕴含(Ω, d_Ω, m)为无穷小Hilbertian并满足RCD(K,∞)条件。
• 通过体积增长σ^n ≳ σ从非凸性假设导出的矛盾表明，测地线的支撑不能增长过慢，从而证明了测地凸性。
• 本工作首次在维度无关CD(K,∞)条件下建立了测度刚性结果，甚至在ℝⁿ上亦成立。