[论文解读] Measure-Valued Generators of General Piecewise Deterministic Markov Processes

Zhaoyang Liu, Yong Jiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了一类适用于一般连续路径确定性马尔可夫过程（PDMPs）的测度取值生成器，其跃迁时间分布任意，采用半动态系统（SDS）的加法泛函作为分析框架。主要贡献在于通过解析条件完全刻画了生成器定义域，并推导出控制加法泛函期望累积贴现值的测度积分微分方程。

ABSTRACT

We consider a piecewise-deterministic Markov process (PDMP) with general conditional distribution of inter-occurrence time, which is called a general PDMP here. Our purpose is to establish the theory of measure-valued generator for general PDMPs. The additive functional of a semi-dynamic system (SDS) is introduced firstly, which presents us an analytic tool for the whole paper. The additive functionals of a general PDMP are represented in terms of additive functionals of the SDS. The necessary and sufficient conditions of being a local martingale or a special semimartingale for them are given. The measure-valued generator for a general PDMP is introduced, which takes value in the space of additive functionals of the SDS. And its domain is completely described by analytic conditions. The domain is extended to the locally (path-)finite variation functions. As an application of measure-valued generator, we study the expected cumulative discounted value of an additive functional of the general PDMP, and get a measure integro-differential equation satisfied by the expected cumulative discounted value function.

研究动机与目标

• 为一般PDMPs发展测度取值生成器的严格理论，超越广义伊藤或密度假设的设定。
• 建立一般PDMPs的加法泛函与底层半动态系统（SDS）的加法泛函之间的联系。
• 通过路径连续性和跳跃行为的解析条件，刻画测度取值生成器的定义域。
• 将定义域扩展至局部（路径）有限变差函数，并推导出期望累积贴现值的测度积分微分方程。
• 通过基于生成器的方程，为求解PDMPs中的最优控制与期望值问题提供一个框架。

提出的方法

• 将半动态系统（SDS）的加法泛函引入为一般PDMPs的基础分析工具。
• 以底层SDS的加法泛函形式表示一般PDMPs的加法泛函。
• 建立此类泛函为局部鞅或特殊半鞅的必要与充分条件。
• 将测度取值生成器定义为映射至SDS加法泛函空间的算子，其定义域由路径连续性与跳跃支撑条件刻画。
• 通过生成器推导出期望累积贴现值函数所满足的测度积分微分方程。
• 将生成器框架应用于证明：在适当的可积性与衰减条件下，测度积分微分方程的解与贴现加法泛函的期望一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当跃迁时间分布无密度时，PDMPs的扩展生成器应如何恰当推广？
• RQ2 如何系统地利用底层半动态系统表示一般PDMPs的加法泛函？
• RQ3 何种解析条件可完全刻画一般PDMPs测度取值生成器的定义域？
• RQ4 如何通过测度积分微分方程刻画加法泛函的期望累积贴现值？
• RQ5 在何种条件下，测度积分微分方程的解等于泛函的期望贴现值？

主要发现

• 测度取值生成器是良定义的，其取值位于底层半动态系统（SDS）的加法泛函空间中。
• 生成器的定义域通过路径绝对连续性与跳跃支撑条件完全刻画：$ J_{Df} \subseteq J_{\Lambda} \cup \mathrm{Supp}_g $。
• 期望累积贴现值函数 $ V(x) $ 满足一个涉及生成器的测度积分微分方程，包含漂移与跳跃分量。
• 当 $ \Lambda^{sc} = 0 $ 且不存在共聚态时，在可积性与衰减条件下，测度积分微分方程的解与贴现泛函的期望一致。
• 本文建立了解 $ f(x) $ 满足测度积分微分方程等于 $ \mathbb{E}_x[\int_{(0,t]} e^{-\delta s} dA_s] $，将生成器与概率期望联系起来。
• 该框架可扩展至局部有限变差函数，从而超越光滑或有界函数的适用范围。