[论文解读] Measure-valued martingales and optimality of Bass-type solutions to the Skorokhod Embedding Problem

Mathias Beiglböck, Alexander M. G. Cox+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文引入测度值鞅（MVM）框架以研究Skorokhod嵌入问题（SEP）中的最优性，表明Bass和Root嵌入分别对应于最小化与布朗运动之间Wasserstein距离及内在速度的MVM。研究证明，Bass MVM通过Wasserstein距离的鞅性质与最小速度实现最优性，而Root MVM则在缩放变分原理下最优，从而通过MVM理论统一了两种解。

ABSTRACT

In this paper we consider (probability-)measure valued processes, which we call MVMs, which have a natural martingale structure. Following previous work of Eldan and Cox-Källblad, these processes are known to have a close connection to the solutions to the Skorokhod Embedding Problem. In this paper, we consider properties of these processes, and in particular, we are able to show that the MVMs connected to the Bass and Root embeddings have natural measure-valued analogues which also possess natural optimality properties. We also introduce a new MVM which is a generalisation of both the Bass and Root MVMs.

研究动机与目标

• 通过1-Wasserstein度量建立测度值鞅（MVM）与Skorokhod嵌入问题（SEP）解之间的联系。
• 将Bass与Root嵌入的最优性表征为具有内在几何与动态性质的MVM，而非停止过程。
• 引入广义MVM，通过共同的变分原理统一Bass与Root MVM。
• 证明Bass MVM是在所有MVM中最小化演化速度与到布朗运动Wasserstein距离的解。
• 表明在适当缩放下，Bass与Root解在MVM框架中求解相同的优化问题。

提出的方法

• 将MVM定义为取值于概率测度空间的连续时间连续过程，使得对有界连续函数的积分构成鞅。
• 在测度空间上赋予1-Wasserstein度量，以分析MVM之间距离的演化。
• 证明两个MVM之间的Wasserstein距离是次鞅，且仅当为Bass MVM时成为鞅。
• 引入MVM的“速度”概念，定义为均值过程的二次变差，并证明Bass MVM最小化该速度。
• 利用MVM与鞅之间的对偶性，将SEP重新表述为带有终端约束的动态规划问题，约束条件编码于当前测度状态中。
• 应用变分论证与凸序技术，证明Root嵌入在与Bass解相同目标函数的缩放版本下最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bass解在Skorokhod嵌入问题中的最优性能否通过测度值鞅的动力学而非停止过程来表征？
• RQ2 布朗运动与Bass嵌入相关的MVM之间的Wasserstein距离是否演化为鞅？这对其最优性有何含义？
• RQ3 是否存在一个统一的变分原理，使得Bass与Root嵌入在作为MVM时可被统一？若存在，其底层目标函数是什么？
• RQ4 是否可定义MVM的“速度”，使得Bass MVM最小化该速度？其与均值过程二次变差的关系如何？
• RQ5 1-Wasserstein度量在识别最优MVM中起什么作用？它如何使经典路径基表述中不可见的新最优性结果得以显现？

主要发现

• 布朗运动相关的MVM与Bass解相关的MVM之间的Wasserstein距离是鞅，表明其在度量意义下具有精确最优性。
• Bass MVM在所有MVM中最小化速度（定义为均值过程的二次变差），确立了其动态最优性。
• Root MVM在与Bass MVM相同目标函数的缩放版本下最优，揭示了两种嵌入在深层结构上的统一性。
• MVM框架允许将终端嵌入约束编码于当前状态，从而实现SEP的动态规划表述。
• 在具有相同终端分布的所有MVM中，Bass解相关的MVM是到布朗运动Wasserstein距离的唯一最小化者。
• 本文证明，Root嵌入相关的MVM在适当缩放下也满足Wasserstein距离的鞅性质，从而在MVM框架中确认了其最优性。