[论文解读] Measurement Quantum Cellular Automata and Anomalies in Floquet Codes

David Aasen, Jeongwan Haah+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2023

Electronic and Structural Properties of Oxides被引用 6

一句话总结

本文引入测量量子细胞自动机（MQCA）以表征周期性泡利测量电路中逻辑信息的流动，特别是在弗洛凯拓扑码中的应用。它在二维中建立了$ℤ_2$体相不变量，该不变量表明存在对平凡边界拓扑障碍，证明哈斯廷斯–豪伊蜂窝码必须表现出周期倍增动力学或异常边界流，以保持局域性和幺正性。

ABSTRACT

We investigate the evolution of quantum information under Pauli measurement circuits. We focus on the case of one- and two-dimensional systems, which are relevant to the recently introduced Floquet topological codes. We define local reversibility in context of measurement circuits, which allows us to treat finite depth measurement circuits on a similar footing to finite depth unitary circuits. In contrast to the unitary case, a finite depth locally reversible measurement circuit can implement a translation in one dimension. A locally reversible measurement circuit in two dimensions may also induce a flow of logical information along the boundary. We introduce "measurement quantum cellular automata" which unifies these ideas and define an index in one dimension to characterize the flow of logical operators. We find a $\mathbb{Z}_2$ bulk invariant for two-dimensional Floquet topological codes which indicates an obstruction to having a trivial boundary. We prove that the Hastings-Haah honeycomb code belongs to a class with such obstruction, which means that any boundary must have either nonlocal dynamics, period doubled, or admits anomalous boundary flow of quantum information.

研究动机与目标

• 理解周期性泡利测量电路下量子信息的动力学行为，特别是在弗洛凯拓扑码的背景下。
• 解决为拓扑码（如哈斯廷斯–豪伊蜂窝码）构建平面、局域边界所面临的挑战，否则将需要周期倍增。
• 开发一种框架——测量量子细胞自动机（MQCA）——该框架将幺正量子细胞自动机推广至具有局域可逆性的测量电路。
• 识别出在二维测量电路中表征平凡边界或能隙边界障碍的拓扑不变量。
• 建立类似于静态拓扑相中体-边对应关系的基于测量的拓扑码体-边对应关系。

提出的方法

• 将局域可逆（LR）测量电路引入为有限深度幺正电路的推广，使具有可逆动力学的测量序列得以处理。
• 将测量量子细胞自动机（MQCA）定义为在测量电路下保持局域性的泡利代数自同构，将QCA形式化推广至非幺正演化。
• 在二维中开发$ℤ_2$体相不变量，以检测弗洛凯码中平凡边界存在的拓扑障碍。
• 在一维中应用MQCA指标，利用弗雷德霍姆映射和代数K-理论工具表征逻辑算符的流动。
• 以温 plaquette平移（WPT）模型和哈斯廷斯–豪伊蜂窝码为具体实例进行分析，计算边界动力学和流行为。
• 使用代数约化技术分析一维和二维系统中的稳定子群和逻辑算符，重点研究马约拉纳链代数及其表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限深度的测量电路能否以局域可逆的方式实现非平凡的逻辑流（如平移）？
• RQ2 哪些拓扑不变量表征二维弗洛凯码的体相，并指示存在平凡边界或能隙边界的障碍？
• RQ3 在局域、周期性测量调度下，哈斯廷斯–豪伊蜂窝码的边界行为如何？
• RQ4 周期倍增是否为实现HH码局域边界的真实要求，还是可能存在其他动力学边界结构？
• RQ5 MQCA形式化能否推广至费米子系统，其对逻辑流可能的指标施加了何种约束？

主要发现

• 在一维中，有限深度的局域可逆测量电路可以实现逻辑信息的平移，类似于幺正量子细胞自动机。
• 在二维中，局域可逆的测量循环即使在无体相动力学的情况下，也能在边界上诱导逻辑信息的流动。
• 本文证明了在二维弗洛凯码中存在$ℤ_2$体相不变量，该不变量阻碍了平凡或能隙边界的出现，意味着存在拓扑障碍。
• 哈斯廷斯–豪伊蜂窝码属于具有此$ℤ_2$障碍的类别，因此任何局域边界必须要么周期倍增，要么承载异常边界动力学。
• 一维MQCA指标以$\frac{1}{2}$为单位量化，本文认为在一维中仅整数指标可实现，意味着在一维中有$\mathrm{LRMC} \cong \mathrm{f\mbox{-}LRMC}$。
• 分析表明，非局域可逆码（如 Bacon–Shor 码或 Vuillot 的边界构造）在热力学极限下易受不可纠正的测量误差影响，暗示局域可逆性可能是存在误差阈值的必要条件。