[论文解读] Measurements of Quantum Hamiltonians with Locally-Biased Classical Shadows

Charles Hadfield, Sergey Bravyi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 18

一句话总结

本文提出局部偏置经典阴影（LBCS），一种测量协议，可在不增加量子线路深度的前提下降低估算分子哈密顿量期望值的方差。通过利用目标哈密顿量和量子态的经典近似，对每个量子比特的局部测量基进行优化，LBCS 在从 H₂ 到 H₂O 的分子中实现了稳定的方差降低——相比泡利分组方法，方差最低可降低 80%。

ABSTRACT

Obtaining precise estimates of quantum observables is a crucial step of variational quantum algorithms. We consider the problem of estimating expectation values of molecular Hamiltonians, obtained on states prepared on a quantum computer. We propose a novel estimator for this task, which is locally optimised with knowledge of the Hamiltonian and a classical approximation to the underlying quantum state. Our estimator is based on the concept of classical shadows of a quantum state, and has the important property of not adding to the circuit depth for the state preparation. We test its performance numerically for molecular Hamiltonians of increasing size, finding a sizable reduction in variance with respect to current measurement protocols that do not increase circuit depths.

研究动机与目标

• 解决变分量子算法中测量开销过高的问题，特别是估算分子能量时。
• 在不增加量子线路深度的前提下降低估算量子可观测量的方差，这对近期量子设备至关重要。
• 开发一种测量协议，利用目标哈密顿量和经典参考态的知识，对测量基进行局部优化。
• 提出一种基于凸优化的可扩展方法，通过偏置测量基提升估算精度，优于现有深度中性协议。

提出的方法

• 使用随机泡利测量构建经典阴影，但针对每个量子比特引入基于目标可观测量和经典参考态的局部偏置。
• 为每个量子比特 i 定义一个在泡利基（X, Y, Z）上的概率分布 β_i，通过优化以最小化估计器方差。
• 制定一个凸代价函数用于优化，实现高效且可靠的收敛至最优测量分布。
• 使用 Hartree-Fock 态或多参考态作为经典近似（参考态），以指导局部偏置过程。
• 将局部偏置经典阴影估计器应用于通过 Jordan-Wigner、正则或 Bravyi-Kitaev 映射编码的分子哈密顿量的期望值估算。
• 在多种分子和编码方式下，将方差性能与标准泡利分组（LDF）和未加权经典阴影进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典阴影中对测量基进行局部偏置，是否能在不增加线路深度的前提下降低估算分子哈密顿量期望值的方差？
• RQ2 与 LDF 等泡利分组启发式方法相比，局部偏置经典阴影在方差降低方面的性能如何？
• RQ3 优化代价函数的凸性是否能确保可靠且一致地收敛至低方差测量分布？
• RQ4 费米子编码方式（Jordan-Wigner、正则、Bravyi-Kitaev）如何影响 LBCS 可实现的方差降低？
• RQ5 能否利用哈密顿量的领域特定知识和经典参考态，使近端量子算法中的测量策略优于通用方法？

主要发现

• 与 LDF 分组和未加权经典阴影相比，LBCS 在估算分子能量期望值时始终能降低方差，最大降幅达 80%，尤其在较大分子如 H₂O 上表现显著。
• 在 Jordan-Wigner 编码下，14 量子比特的 H₂O 系统中，LBCS 的方差为 258，而经典阴影为 2840，LDF 分组为 1040。
• 即使在 LDF 分组通过 1-范数采样优化后，LBCS 在所有测试分子（H₂、LiH、BeH₂、H₂O）中仍表现更优。
• 公式 (16) 中的凸代价函数确保了无论初始化如何，都能可靠收敛至唯一全局最小值，且方差与非凸替代方案几乎完全一致。
• LBCS 与 LDF 的性能差距在较大体系中最为显著，如 BeH₂ 和 H₂O，LBCS 的方差比 LDF 降低 4 至 5 倍。
• 费米子编码的选择显著影响性能：Jordan-Wigner 编码因 Z 操作更集中，更有利于偏置；而 Bravyi-Kitaev 和正则映射因 X/Y 操作增多，导致方差更高。