[论文解读] Measures and their random reals

Jan Reimann, Theodore A. Slaman|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文研究了在康托尔空间上任意概率测度下哪些实数是随机的。结果表明，每个非可计算实数都是某个含原子测度下的随机数，每个非超算术实数都是某个连续测度下的随机数，从而在算法随机性与描述集合论复杂性之间建立了精确联系。

ABSTRACT

We study the randomness properties of reals with respect to arbitrary probability measures on Cantor space. We show that every non-computable real is non-trivially random with respect to some measure. The probability measures constructed in the proof may have atoms. If one rules out the existence of atoms, i.e. considers only continuous measures, it turns out that every non-hyperarithmetical real is random for a continuous measure. On the other hand, examples of reals not random for any continuous measure can be found throughout the hyperarithmetical Turing degrees.

研究动机与目标

• 确定给定实数在哪些概率测度下是算法随机的。
• 研究实数的有效描述复杂性与其相对于连续测度的随机性之间的关系。
• 对在任何连续测度下均不随机的实数进行分类，特别关注超算术层次中的情况。
• 通过反转通常的问题来扩展算法随机性的对偶性：不固定测度而研究随机实数，而是固定一个实数，询问哪些测度使其成为随机的。

提出的方法

• 通过图灵泛函和使用单调减少法构造可计算测度，以确保对柱集的测度论控制。
• 采用基于变换的方法定义测度 μ，使得 μ[σ] 下方有界于 λ[Pre(σ)]，上方有界于 λ[Ψ|σ|(σ)]，从而保证非原子性与随机性。
• 在构造中应用 wtt-约化（弱真理表约化），以确保所得测度的连续性，因为当 h(k) → ∞ 时，μ 为无原子测度。
• 利用伍丁的结果：非超算术实数与某个实数的跳跃 tt-等价，从而能够为这类实数构造连续测度。
• 使用博弈论论证，结合博雷尔决定性与 Kumabe-Slaman 强制法，推广了在连续测度下非随机实数的可数性。
• 使用相对于测度表示的通用 Martin-Löf 检验来定义随机性，将经典概念扩展至任意可计算测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些实数在康托尔空间上的某个概率测度下是随机的，这类测度具有什么特征？
• RQ2 对于哪些实数，存在一个连续（无原子）测度，使其在该测度下是随机的？
• RQ3 在任何连续测度下均不随机的实数的确切复杂度是什么？
• RQ4 连续测度下的 n-随机性结构与有效描述集合论有何关系？

主要发现

• 每个非可计算实数都是某个可能含原子的测度下的随机数。
• 每个非超算术实数都是某个连续测度下的随机数。
• 在超算术层次内存在一些实数，它们在任何连续测度下都不是随机的。
• 在任何连续测度下均不随机的实数集合是可数的，且该结论对 n-随机性也成立。
• 为非超算术实数构造连续测度依赖于 wtt-约化，以及对逆泛函使用量的可计算有界函数 g。
• 伍丁对 Posner-Robinson 定理的推广，使得能够证明非超算术实数在某个连续测度下是随机的。