[论文解读] Measures by means, means by measures

Attila Losonczi|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Functional Equations Stability Results参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出一个测度论框架，通过Borel测度将二元均值（如几何平均）推广至无限Lebesgue可测集。在光滑性条件下，证明了唯一测度可生成任意给定的二元均值，并表明此类广义均值继承了AM-GM不等式等性质，且在无穷远处收敛于算术平均。

ABSTRACT

We construct measure which determines a two-variable mean in a very natural way. Using that measure we can extend the mean to infinite sets as well. E.g. we can calculate the geometric mean of any set with positive Lebesgue measure. We also study the properties and behavior of such generalized means that are obtained by a measure, and we provide some applications as well.

研究动机与目标

• 通过测度论将二元均值（例如几何平均）推广至ℝ的无限可测子集。
• 确立Borel测度唯一生成给定二元均值的条件。
• 研究由测度导出的广义均值所继承的性质——如单调性、连续性及不等式。
• 分析广义均值在集合被平移至无穷远时的渐近行为。
• 证明二元均值的值完全由其在(1,x)上的取值决定，从而实现函数重构。

提出的方法

• 通过积分定义广义均值：$\mathcal{M}^\mu(H) = \frac{\int_H x\, d\mu}{\mu(H)}$，其中$\mu$为p-Borel测度，$H$为有界$\mu$-可测集且满足$0 < \mu(H) < \infty$。
• 利用与递增连续函数相关的Lebesgue-Stieltjes测度，构造给定均值的生成测度。
• 在光滑性与内部条件成立下，证明任意二元均值均存在唯一生成测度。
• 应用$d_\mu$-伪度量收敛概念，研究广义均值的连续性与稳定性。
• 通过区间上$\mu(I)/\lambda(I)$的下确界$m_I$与上确界$M_I$的比值分析渐近行为。
• 利用绝对连续性及有限个不相交区间的并逼近，证明测度比值的关键界。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何正Lebesgue测度的Lebesgue可测集的几何平均是否可被有意义地定义？
• RQ2 在何种条件下存在Borel测度可生成给定的二元均值？
• RQ3 AM-GM不等式等性质是否可推广至通过测度定义的广义均值？
• RQ4 当集合被平移至无穷远时，广义均值的行为如何？
• RQ5 能否仅通过二元均值在集合$\{(1,x)\}$上的取值完全重构该均值？

主要发现

• 对于满足温和光滑性与内部条件的任意二元均值，存在唯一p-Borel测度，使其通过$\mathcal{M}^\mu(H) = \int_H x\, d\mu / \mu(H)$生成该均值。
• 几何平均由Borel测度$\mu$生成，其密度为$\frac{1}{e^2 \sqrt{x}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$，确保在任意正Lebesgue测度集上均值有定义。
• 广义均值$\mathcal{M}^\mu(H+x)$在$x \to +\infty$时收敛于算术平均$\mathrm{Avg}(H+x)$，且$\lim_{x\to\infty} |\mathcal{M}^\mu(H+x) - \mathrm{Avg}(H+x)| = 0$。
• 区间$I \subset I+x$上$\mu(I)/\lambda(I)$的上确界与下确界之比$M_{I+x}/m_{I+x}$在$x \to \infty$时趋于1，证实其渐近收敛于算术平均。
• 对于与几何平均相关的测度，不等式$\mathcal{M}^\mu(H) \geq \mathrm{Avg}(H)$成立，从而在广义设定下保持经典的AM-GM不等式。
• 二元均值$\mathcal{K}(a,b)$完全由其限制$f(x) = \mathcal{K}(1,x)$决定，可通过测度论方法实现函数重构。