[论文解读] Measures of $\e$-complexity

Valentin Afraimovich, Lev Glebsky|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文在紧致度量空间中引入并分析了两种 $\epsilon$-复杂度的对偶度量：一种基于 $\epsilon$-分离集，另一种基于 $\epsilon$-网。在较弱条件下证明了这两种度量等价，表明基于分离的 $\epsilon$-复杂度与基于网覆盖的 $\epsilon$-复杂度互为对偶，其等价性通过 $\epsilon$-球内最大点数的界得以确立。该结果推广了分形几何与动力系统中已知的关系。

ABSTRACT

We study some measures which are related to the notion of the $\e$-complexity. We prove that measure of $\e$-complexity defined on the base of the notion of $\e$-separability is equivalent to the dual measure that is defined through $\e$-nets. Keywords: Complexity, Separability, Bernoulli measure

研究动机与目标

• 在抽象紧致度量空间中形式化并研究 $\epsilon$-复杂度的度量，其动机源于动力系统与分形几何。
• 建立基于 $\epsilon$-分离集定义的 $\epsilon$-复杂度与基于 $\epsilon$-网定义的 $\epsilon$-复杂度之间的对偶性。
• 在一般条件下证明这两种对偶度量的等价性，特别是当任意 $\epsilon$-球中的点数有统一有界时。
• 探讨这些复杂度度量在局部等距下的不变性及其与拓扑维数和 Hausdorff 维数的关系。

提出的方法

• 将 $\epsilon$-复杂度定义为紧致度量空间中任意 $\epsilon$-分离子集的最大势。
• 将对偶 $\epsilon$-复杂度定义为覆盖该空间的 $\epsilon$-网的最小势。
• 利用不等式 $C_{\epsilon} \leq R_{\epsilon/2}$ 关联两种度量，表明 $R_{\epsilon/2} \geq C_{\epsilon}$。
• 引入基于超滤子的度量 $\mu_{E,\mathcal{F}}$ 和 $\nu_{E,\mathcal{F}}$，以分析复杂度在不同尺度下的渐近行为。
• 通过以网点为指标的不相交覆盖集 $K_x$，建立最优 $\epsilon$-网与 $\epsilon$-分离集之间的对应关系。
• 在 $C_{\epsilon}(O_{\epsilon}(x)) \leq k$ 一致成立的条件下，证明度量 $\mu_{E,\mathcal{F}}$ 与 $\nu_{E,\mathcal{F}}$ 等价，且满足 bounds $\frac{1}{k}\nu \leq \mu \leq k\nu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致度量空间中，基于 $\epsilon$-可分性的 $\epsilon$-复杂度度量与基于 $\epsilon$-网的度量是否等价？
• RQ2 在何种条件下，基于 $\epsilon$-网的对偶度量与基于可分性的度量一致？
• RQ3 这些复杂度度量在局部等距下如何表现？是否具有不变性？
• RQ4 在自相似集（如 Cantor 集）中，$\epsilon$-复杂度与 Hausdorff 维数之间存在何种关系？
• RQ5 基于超滤子的渐近复杂度度量能否用于统一或比较动力系统中不同的复杂度概念？

主要发现

• 基于 $\epsilon$-可分性的 $\epsilon$-复杂度有上界，由基于 $\epsilon$-网的对偶复杂度控制，即 $C_{\epsilon} \leq R_{\epsilon/2}$。
• 对偶度量 $R_{\epsilon}$ 满足次可加性：$R_{\epsilon}(D_1 \cup D_2) \leq R_{\epsilon}(D_1) + R_{\epsilon}(D_2)$。
• 在非阿基米德空间中，两种度量相等：$\mu_{E,\mathcal{F}} = \nu_{E,\mathcal{F}}$，因为对所有 $x$ 有 $C_{\epsilon}(O_{\epsilon}(x)) = 1$。
• 当任意 $\epsilon$-球中的点数以 $k$ 统一有界时，度量 $\mu_{E,\mathcal{F}}$ 与 $\nu_{E,\mathcal{F}}$ 等价，且满足 bounds $\frac{1}{k}\nu \leq \mu \leq k\nu$。
• 在 Cantor 集的情况下，$\epsilon$-复杂度满足 $\frac{\ln C_{\epsilon}}{-\ln \epsilon} \to \dim_H K = \frac{\ln 2}{\ln 3}$，从而恢复了 Furstenberg 公式。
• 复杂度度量在局部等距下保持不变，这由 $\nu_{E,\mathcal{F}}$ 在此类映射下的不变性所证明。