[论文解读] Measures with positive Lyapunov exponent and conformal measures in rational dynamics

Neil Dobbs|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在有理映射动力系统中，建立了具有正李雅普诺夫指数的遍历不变概率测度关于一般共形测度绝对连续的等价条件。通过在自然扩张中构造一种新型的规则返回圆柱，作者证明了存在一个具有可积返回时间的扩张诱导马尔可夫映射，该映射生成该测度，并表明密度远离零——提供了比以往工作（包括Ledrappier的工作）更简单、更强的证明。

ABSTRACT

Ergodic properties of rational maps are studied, generalising the work of F.\ Ledrappier. A new construction allows for simpler proofs of stronger results. Very general conformal measures are considered. Equivalent conditions are given for an ergodic invariant probability measure with positive Lyapunov exponent to be absolutely continuous with respect to a general conformal measure. If they hold, we can construct an induced expanding Markov map with integrable return time which generates the invariant measure.

研究动机与目标

• 将Ledrappier在有理映射动力系统中关于绝对连续不变测度（acips）的结果进行推广和加强。
• 确定在何种条件下，具有正李雅普诺夫指数的遍历不变测度关于一般共形测度是绝对连续的。
• 当这些条件成立时，构造一个具有可积返回时间的扩张诱导马尔可夫映射，使其生成该不变测度。
• 证明该不变测度关于共形测度的密度远离零。
• 提供一个基于佩辛理论和自然扩张动力学的新框架，该框架可推广至全纯设定之外。

提出的方法

• 在自然扩张中引入规则返回圆柱的概念，确保预像嵌套或不相交，而无需原始集合具有良好性质。
• 利用自然扩张提升动力系统，并构造具有良好拓扑与动力学性质的有限生成划分。
• 应用佩辛理论与偏差估计，控制导数的增长及势函数的变化。
• 利用科贝原理与偏差界，对圆柱分量上迭代的偏差实现统一控制。
• 通过将最大拓扑球微分同胚映射到目标集合，构造扩张诱导马尔可夫映射，确保返回时间可积。
• 利用卡克斯定理与测度论论证，控制期望返回时间，并证明存在具有有界密度的绝对连续不变测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有理映射动力系统中，具有正李雅普诺夫指数的遍历不变概率测度在何种条件下关于一般共形测度是绝对连续的？
• RQ2 acip的存在性能否通过诸如佩辛公式变体或存在具有可积返回时间的扩张诱导马尔可夫映射等性质等价刻画？
• RQ3 如何构造一个生成给定具有正李雅普诺夫指数的遍历不变测度的扩张诱导马尔可夫映射？
• RQ4 规则返回圆柱在自然扩张中的作用是什么，它如何促成此类映射的构造并确保密度有界？
• RQ5 基于佩辛理论与偏差控制的技术在全纯动力系统之外能在多大程度上推广？

主要发现

• 具有正李雅普诺夫指数的遍历不变概率测度μ关于共形测度m是绝对连续的，当且仅当μ满足佩辛公式的一个变体。
• 当此类acip存在时，存在一个具有可积返回时间的扩张诱导马尔可夫映射，该映射生成μ。
• μ关于m的密度远离零与无穷大，该结果通过偏差控制与科贝型估计显式证明。
• 该构造在自然扩张中产生一个有限生成划分，其元素个数比有理映射的次数d多一个，意味着该测度的熵有界于log d。
• 该证明方法不依赖于一维全纯性，可推广至多项式或向后收缩映射之外的更广泛有理映射类。
• 该方法提供了acips存在性的新、更简单的证明，并确立了其有界密度，这一事实此前在[13]等早期工作中被使用但未被证明。