[论文解读] Measuring 4-local n-qubit observables could probabilistically solve PSPACE

Paweł Wocjan, Dominik Janzing+2 more|ArXiv.org|Aug 1, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文表明，一种能够精确测量4-局部n-量子比特可观测量的假设性量子测量装置，仅需多项式数量的测量即可概率性地解决任意PSPACE问题。关键结果是，当测量精度达到可观测量谱间隙量级时，PSPACE问题的错误概率会以指数方式下降，这意味着若能高效实现对一般4-局部可观测量的高精度测量，将导致多项式层次坍缩，除非PSPACE ≠ BQP。

ABSTRACT

We consider a hypothetical apparatus that implements measurements for arbitrary 4-local quantum observables A on n qubits. The apparatus implements the ``measurement algorithm'' after receiving a classical description of A. We show that a few precise measurements, applied to a basis state would provide a probabilistic solution of PSPACE problems. The error probability decreases exponentially with the number of runs if the measurement accuracy is of the order of the spectral gaps of A. Moreover, every decision problem which can be solved on a quantum computer in T time steps can be encoded into a 4-local observable such that the solution requires only measurements of accuracy O(1/T). Provided that BQP<>PSPACE, our result shows that efficient algorithms for precise measurements of general 4-local observables cannot exist. We conjecture that the class of physically existing interactions is large enough to allow the conclusion that precise energy measurements for general many-particle systems require control algorithms with high complexity.

研究动机与目标

• 研究量子系统中对4-局部n-量子比特可观测量进行精确测量的计算能力。
• 确定此类测量是否能够解决复杂性类PSPACE中的问题。
• 探讨测量精度与计算复杂性之间的关系，特别是与BQP和PSPACE的关系。
• 评估在典型局域性和对称性约束下，物理上可实现的相互作用是否仍能支持此类强大测量。

提出的方法

• 作者构建了一类与通过量子行走式演化求解PSPACE问题的量子线路相对应的4-局部可观测量。
• 他们使用时间演化算符 U_t = exp(-iAt)，其中A为4-局部可观测量，该算符可使用量子门以误差界为ε的方式高效模拟。
• 测量精度定义为：在围绕本征值的宽度为Δλ的区间内获得结果的概率，至少为真实本征投影算符概率的3/4。
• 对酉演化U_t应用量子相位估计算法以估计A的本征值，所需运行次数随误差指数减小而缩放。
• 证明所需测量精度为O(1/T)，其中T为量子线路的运行时间，从而将精度与计算效率联系起来。
• 该构造依赖于可观测量A的谱间隙，确保当测量精度匹配间隙大小时，可高置信度地区分本征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 精确测量4-局部n-量子比特可观测量是否能够解决复杂性类PSPACE中的问题？
• RQ2 使用此类可观测量概率性地解决PSPACE问题所需的测量精度是多少？
• RQ3 此类方案的错误概率如何随测量重复次数变化？
• RQ4 高精度测量4-局部可观测量的计算能力是否与已知复杂性类（如BQP和PSPACE）一致？
• RQ5 具有成对相互作用和平移对称性的物理上现实的哈密顿量是否仍能编码PSPACE-完全问题？

主要发现

• 一种能够以O(1/T)精度分辨4-局部可观测量谱间隙的测量装置（其中T为量子线路的运行时间），可通过多次运行以指数级降低错误概率，从而解决任意PSPACE问题。
• 当测量精度匹配谱间隙大小时，错误概率随测量重复次数的增加呈指数下降。
• 该构造表明，通过此类测量求解PSPACE问题仅需多项式时间的量子线路和常数数量的精确测量。
• 该结果意味着，若PSPACE ≠ BQP，则不存在高效的经典算法可模拟一般4-局部可观测量的精确测量。
• 作者推测，即使在具有局域性、对称性和成对相互作用结构的物理上现实的哈密顿量中，其谱性质仍可编码PSPACE问题，暗示量子测量中存在广泛计算能力。