[论文解读] Measuring and Analysing Marginal Systemic Risk Contribution using CoVaR: A Copula Approach

Brice Hakwa, Manfred Jäger-Ambrożewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于配对的分析框架，用于计算CoVaR，这是一种衡量金融机构对系统性风险边际贡献的系统性风险指标。通过将CoVaR表示为边际损失分布和基于配对的依赖结构的函数，该框架能够对各种分布类型和依赖关系（包括非线性尾部依赖）实现闭式计算，为先前基于回归或仅限高斯分布的方法提供了一种灵活且数学上可处理的替代方案。

ABSTRACT

This paper is devoted to the quantification and analysis of marginal risk contribution of a given single financial institution i to the risk of a financial system s. Our work expands on the CoVaR concept proposed by Adrian and Brunnermeier as a tool for the measurement of marginal systemic risk contribution. We first give a mathematical definition of CoVaR_α^{s|L^i=l}. Our definition improves the CoVaR concept by expressing CoVaR_α^{s|L^i=l} as a function of a state l and of a given probability level αrelative to i and s respectively. Based on Copula theory we connect CoVaR_α^{s|L^i=l} to the partial derivatives of Copula through their probabilistic interpretation and definitions (Conditional Probability). Using this we provide a closed formula for the calculation of CoVaR_α^{s|L^i=l} for a large class of (marginal) distributions and dependence structures (linear and non-linear). Our formula allows a better analysis of systemic risk using CoVaR in the sense that it allows to define CoVaR_α^{s|L^i=l} depending on the marginal distributions of the losses of i and s respectively and the copula between L^i and L^s. We discuss the implications of this in the context of the quantification and analysis of systemic risk contributions. %some mathematical This makes possible the For example we will analyse the marginal effects of L^i, L^s and C of the risk contribution of i.

研究动机与目标

• 解决在传统方法失效的非高斯、非线性依赖环境下计算CoVaR这一开放性问题。
• 通过将CoVaR定义为特定损失状态 $ l $ 和置信水平 $ \alpha $ 的函数，改进CoVaR概念，提升其数学可处理性。
• 利用配对理论推导 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 的通用解析公式，整合边际分布与依赖结构。
• 通过分离边际损失分布 $ F_s $、$ F_i $ 与依赖参数 $ \rho $ 或 $ \theta $ 的影响，实现对系统性风险贡献的灵活分析。
• 为计算相关宏观审慎风险度量（如 $ \Delta \mathrm{CoVaR} $、$ \Delta \mathrm{CollVaR} $ 和 $ \Delta \mathrm{CondVaR} $）提供基础。

提出的方法

• 将 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 的数学定义进行优化，定义为在机构 $ i $ 的损失处于水平 $ l $ 条件下，系统损失的风险价值（Value-at-Risk），相较于 Adrian 和 Brunnermeier 的原始公式有所改进。
• 利用配对理论建模机构 $ i $ 的损失 $ L^i $ 与系统损失 $ L^s $ 之间的联合依赖关系，支持线性和非线性依赖的灵活建模。
• 基于配对函数的偏导数，推导出 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 的闭式表达式，利用条件概率的概率解释。
• 将公式应用于特定配对族：高斯配对、t-配对、Gumbel 配对和 Clayton 配对，其中高斯配对、t-配对和 Clayton 配对均推导出明确的解析解。
• 对于 Gumbel 配对，公式已推导，但其反函数无法解析求解，需借助数值方法进行计算。
• 证明了系统性风险贡献与被研究机构自身的边际分布 $ F_i $ 无关，这是从推导公式中得出的关键洞见。

实验结果

研究问题

• RQ1 CoVaR 如何被重新定义，以实现数学上的可处理性，并依赖于特定损失状态 $ l $，而非仅依赖于分位数？
• RQ2 能否推导出一个通用的解析公式 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $，以分离边际分布与依赖结构的影响？
• RQ3 不同配对族（高斯、t-、Gumbel、Clayton）如何捕捉不同形式的依赖关系（包括尾部依赖）？它们对 CoVaR 值有何影响？
• RQ4 系统边际损失分布 $ F_s $、依赖参数 $ \rho $ 或 $ \theta $ 以及条件损失 $ l $ 对最终 CoVaR 的影响是什么？
• RQ5 该框架能否扩展以计算相关系统性风险度量，如 $ \Delta \mathrm{CoVaR} $、$ \Delta \mathrm{CollVaR} $ 和 $ \Delta \mathrm{CondVaR} $？

主要发现

• 基于配对理论，推导出 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 的闭式解析公式，适用于广泛的边际分布类型与依赖结构。
• 对于 Clayton 配对，公式明确给出为 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} = F_s^{-1}\left(\left[\left(\alpha^{-\frac{\theta}{1+\theta}} - 1\right)F_i(l)^{-\theta} + 1\right]^{-\frac{1}{\theta}}\right) $，支持直接计算。
• 机构 $ i $ 的系统性风险贡献与其自身的边际分布 $ F_i $ 无关，如公式 (11) 所示，这一结果虽反直觉，但有严格的数学支持。
• Gumbel 配对模型表现出上尾部依赖（$ \lambda_u > 0 $），但无下尾部依赖，其 CoVaR 公式因缺乏显式反函数，需通过数值反演求解。
• 该框架成功捕捉了非线性与非对称依赖关系（如尾部依赖），而线性相关性模型无法捕捉此类特征，因此优于以往基于回归或仅限高斯分布的方法。
• 该方法可推导出 $ \Delta \mathrm{CoVaR} $、$ \Delta \mathrm{CollVaR} $ 和 $ \Delta \mathrm{CondVaR} $ 等相关系统性风险度量的闭式表达式，显著增强了其在宏观审慎监管中的实际应用价值。