[论文解读] Measuring Distance between Reeb Graphs

Ulrich Bauer, Xiaoyin Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 48被引用 7

一句话总结

本文提出了函数畸变距离（FDD），这是一种用于Reeb图的新度量，可在输入函数发生微小扰动时保证稳定性，同时保持区分能力。关键结果是FDD下界为普通与扩展持久图的瓶颈距离，确保即使在简化后，持久的拓扑特征仍可被检测到。

ABSTRACT

One of the prevailing ideas in geometric and topological data analysis is to provide descriptors that encode useful information about hidden objects from observed data. The Reeb graph is one such descriptor for a given scalar function. The Reeb graph provides a simple yet meaningful abstraction of the input domain, and can also be computed efficiently. Given the popularity of the Reeb graph in applications, it is important to understand its stability and robustness with respect to changes in the input function, as well as to be able to compare the Reeb graphs resulting from different functions. In this paper, we propose a metric for Reeb graphs, called the functional distortion distance. Under this distance measure, the Reeb graph is stable against small changes of input functions. At the same time, it remains discriminative at differentiating input functions. In particular, the main result is that the functional distortion distance between two Reeb graphs is bounded from below by (and thus more discriminative than) the bottleneck distance between both the ordinary and extended persistence diagrams for appropriate dimensions. As an application of our results, we analyze a natural simplification scheme for Reeb graphs, and show that persistent features in Reeb graph remains persistent under simplification. Understanding the stability of important features of the Reeb graph under simplification is an interesting problem on its own right, and critical to the practical usage of Reeb graphs.

研究动机与目标

• 定义一种对Reeb图鲁棒的度量，使其在输入函数发生微小扰动时保持稳定。
• 确保该度量具有区分能力，即使在标准持久图失效时也能区分不同的标量场。
• 建立函数畸变距离与持久图（尤其是瓶颈距离）之间的理论界限。
• 分析在自然的Reeb图简化策略下持久特征的稳定性。
• 将函数畸变距离与现有的合并树度量（如Gromov-Hausdorff距离和交错距离）联系起来。

提出的方法

• 提出函数畸变距离（FDD）作为受Gromov-Hausdorff距离启发的度量，通过函数和路径测量Reeb图之间的畸变。
• 将函数畸变距离定义为所有对应关系中函数值与路径高度畸变最大值的下确界。
• 利用路径提升与高度比较技术，将目标Reeb图中的路径与源图中的路径关联，将高度畸变上界定为2δ + 原始高度。
• 证明FDD在L∞-范数扰动下上界为函数Gromov-Hausdorff距离的3倍，从而确立其稳定性。
• 证明FDD在合并树上等价于交错距离，将其与持久性理论中的既有结果联系起来。
• 将该框架应用于一种简化策略：移除持久性≤δ的特征，证明持久特征仍可被检测。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Reeb图定义一种度量，使其在输入函数发生微小扰动时保持稳定，同时保持区分能力？
• RQ2 函数畸变距离与持久图（尤其是瓶颈距离）有何关系？
• RQ3 函数畸变距离在合并树上是否等价于现有距离（如交错距离）？
• RQ4 在所提出的度量下，Reeb图中的持久特征在简化后是否仍保持持久性？
• RQ5 函数畸变距离能否严格界定Reeb图中拓扑特征的稳定性？

主要发现

• 函数畸变距离由普通与扩展持久图之间的瓶颈距离下界限定，确保其区分能力强于仅使用持久图。
• 函数畸变距离在输入函数的L∞-范数扰动下保持稳定，其稳定性界与持久图一致。
• 在合并树上，函数畸变距离等价于交错距离，验证了其与现有理论的一致性。
• 在移除持久性≤δ特征的简化策略下，原始与简化Reeb图的持久图之间的瓶颈距离最多为9δ。
• 更精细的分析将瓶颈距离的界改进为6δ，且原始与简化Reeb图之间的FDD最多为2δ。
• 函数畸变距离为分析Reeb图中特征稳定性提供了严格框架，对数据分析的实际应用至关重要。