[论文解读] Medium-scale curvature at larger radii in finitely generated groups

Robert Kropholler, Brendan Mallery|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 4

一句话总结

本论文通过在任意半径下使用球面与球体比较距离，为有限生成群引入了一种中尺度的里奇曲率。研究表明，死端元素会产生非负曲率，并在毛毯工群与豪斯顿群中构造出稳定正曲率的显式例子。该曲率概念与奥利维耶的离散里奇曲率在非交换群中存在差异，揭示了最优传输方案并不总是能被标准GenCon构造所捕捉。

ABSTRACT

In this paper we study medium scale curvature, a notion of Ricci curvature for groups. We show that dead-end elements yield non-negative curvature. We make use of related elements to find large classes of positive curvature in the lamplighter and Houghton's group. We also study the effect of increasing the radius of curvature and give examples of positive curvature for arbitrary radius. Finally we make some comparisons between this notion of curvature and the Ricci curvature introduced by Ollivier.

研究动机与目标

• 将有限生成群中里奇曲率的概念扩展至半径1以外，以实现对更大尺度曲率的研究。
• 探究在增大比较半径时，于半径1处观察到的正曲率是否依然保持。
• 识别自然的群元素类别——尤其是死端元素——以系统构建在多个半径下均产生非负曲率的元素。
• 将所提出的曲率概念与奥利维耶的离散里奇曲率进行比较，特别是在非交换群中的表现。
• 探讨最优传输方案在曲率计算中的作用，并确定GenCon构造何时能提供最小传输成本。

提出的方法

• 将球面与球体比较距离 $\mathcal{S}_r(x,y)$ 和 $\mathcal{B}_r(x,y)$ 定义为：对半径 $r$ 的球面或球体中的 $w$，$xw$ 与 $yw$ 之间平均距离的期望值。
• 通过 $\kappa_r^\mathcal{S}(x,y) = \frac{d(x,y) - \mathcal{S}_r(x,y)}{d(x,y)}$ 定义曲率，正曲率表示平移下的收缩效应。
• 利用群的对称性，将曲率计算简化为 $\kappa_r^\mathcal{B}(g) = \kappa_r^\mathcal{B}(e, g)$，通过词长与共轭关系简化分析。
• 分析具有严格深度 $k$ 的死端元素，证明对所有 $r < k$ 有 $\kappa_r^\mathcal{S}(g) \geq 0$，从而确立了一类广义的非负曲率元素。
• 在毛毯工群 $\mathcal{L}_2$ 与豪斯顿群 $H_2$ 中构造显式例子，证明在任意半径下均存在稳定正曲率。
• 通过分析传输成本与最优传输方案，将新曲率与奥利维耶的离散里奇曲率进行比较，揭示在非交换群中存在差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半径1处具有正曲率的元素，当比较半径增大时是否仍保持正曲率？
• RQ2 有限生成群中的死端元素能否被系统性地用于在更大半径下构造非负曲率？
• RQ3 在哪些群中，GenCon构造能提供曲率计算的最优传输方案？
• RQ4 在非交换群中，所提出的中尺度曲率与奥利维耶的离散里奇曲率有何不同？
• RQ5 是否存在最优传输方案与群元素无关的群？抑或其依赖关系显著变化？

主要发现

• 具有严格深度 $k$ 的死端元素在所有比较半径 $r < k$ 下均表现出非负曲率，提供了一类广义的非负曲率元素构造机制。
• 毛毯工群 $\mathcal{L}_2$ 与豪斯顿群 $H_2$ 中存在在所有测试半径下均保持正曲率的元素，证明了正曲率在较大尺度下的稳定性。
• 在自由群 $F_n$ 中，GenCon构造能实现最优传输成本，因此与奥利维耶的曲率一致，表明在此情况下二者一致。
• 在 $S_3$ 与标准生成元下，GenCon构造无法提供最小传输成本，证明奥利维耶的曲率与所提出的比较曲率可在非交换群中存在差异。
• $\phi_S^r(g)$ 函数（将群元素映射到 $B_r$ 的最优排列）并不总是平凡的，其结构随 $g$ 变化，表明最优传输方案依赖于群元素。
• 本文构造了在任意半径下均存在正曲率的例子，表明正曲率并非小尺度几何的产物，而可在较大尺度上保持稳定。