[论文解读] Mellin transforms with only critical zeros: generalized Hermite functions

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究了参数 μ > -1/2 的广义厄米函数的梅林变换，表明所得的多项式因子与缩放并平移后的梅克纳-波拉茨克维奇多项式成正比。这些多项式的所有零点均位于临界线 Re(s) = 1/2 上，通过合流超几何函数和函数方程，直接建立了特殊函数理论与黎曼猜想之间的联系。

ABSTRACT

We consider the Mellin transforms of certain generalized Hermite functions based upon certain generalized Hermite polynomials, characterized by a parameter $μ>-1/2$. We show that the transforms have polynomial factors whose zeros lie all on the critical line. The polynomials with zeros only on the critical line are identified in terms of certain $_2F_1(2)$ hypergeometric functions, being certain scaled and shifted Meixner-Pollaczek polynomials. Other results of special function theory are presented.

研究动机与目标

• 分析通过参数 μ > -1/2 定义的广义厄米函数的梅林变换。
• 识别这些变换中出现的多项式因子，并确定其零点分布。
• 建立这些多项式与已知正交多项式之间的联系，其零点位于临界线上。
• 利用超几何恒等式，探索所得多项式的功能方程和对称性。
• 提供一个构建仅具有临界零点的多项式的框架，与解析数论及黎曼猜想相关。

提出的方法

• 通过拉盖尔多项式和合流超几何函数的表示，推导广义厄米函数的梅林变换。
• 将多项式因子表示为终止超几何函数 $_2F_1(2)$，具体为 $_2F_1(-n, (μ+s)/2; μ+1/2; 2)$。
• 通过超几何变换恒等式，将多项式因子识别为缩放并平移后的梅克纳-波拉茨克维奇多项式。
• 应用梅林变换的普朗歇尔关系，表明权函数 $|\Gamma((\mu+s+\varepsilon)/2)|^2$ 对应正交性测度。
• 利用梅克纳-波拉茨克维奇多项式的已知正交性和零点分离性质，推断零点位于临界线上且为单重零点。
• 建立函数方程 $P_n^\alpha(s) = (-1)^n P_n^\alpha(1-s)$，将对称性与临界线上的零点联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义厄米函数的梅林变换是否产生仅在临界线 Re(s) = 1/2 上具有零点的多项式因子？
• RQ2 所得的多项式因子能否用已知零点分布的经典正交多项式表示？
• RQ3 梅林变换多项式的函数方程结构是什么？它如何与临界线上的对称性相关？
• RQ4 多项式因子的超几何表示如何与梅克纳-波拉茨克维奇多项式关联？
• RQ5 多项式因子的零点是否为单重零点？它们是否如正交多项式理论所预期的那样交错排列？

主要发现

• 广义厄米函数的梅林变换产生与梅克纳-波拉茨克维奇多项式 $P_n^{(\mu+\varepsilon)/2+1/4}\left[i(1/4 - s/2); \pi/2\right]$ 成正比的多项式因子。
• 所有多项式因子的零点均位于临界线 Re(s) = 1/2 上，这由正交性及梅克纳-波拉茨克维奇多项式的已知性质所证实。
• 多项式因子满足函数方程 $P_n^\alpha(s) = (-1)^n P_n^\alpha(1-s)$，表明其关于临界线具有对称性。
• 连续多项式因子 $p_n^\mu(1/2+it)$ 与 $p_{n+1}^\mu(1/2+it)$ 的零点在临界线上交错排列，这是正交多项式的典型特征。
• 多项式因子表示为 $_2F_1(2)$ 超几何函数，其变换恒等式确认了零点位于临界线。
• 梅林变换的普朗歇尔关系确认，权函数 $|\Gamma((\mu+s+\varepsilon)/2)|^2$ 对应正交性测度，从而验证了零点分布。