[论文解读] Memory in a nonlocally damped oscillator

Dariusz Chruściński, Jacek Jurkowski|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了一种由时间非局部阻尼项 $\tanh(\gamma(t-t_0))$ 控制的非局部阻尼谐振子，该阻尼项通过将初始时间 $t_0$ 固定为基本参数，为系统引入记忆效应。与标准阻尼振子不同，该模型在经典哈密顿动力学和量子传播子中均破坏了局部复合律，导致非局部量子演化，从而防止波包在渐近状态下扩展至无限宽度，这与自由量子情形相反。

ABSTRACT

We analyze the new equation of motion for the damped oscillator. It differs from the standard one by a damping term which is nonlocal in time and hence it gives rise to a system with memory. Both classical and quantum analysis is performed. The characteristic feature of this nonlocal system is that it breaks local composition low for the classical Hamiltonian dynamics and the corresponding quantum propagator.

研究动机与目标

• 提出一种新的阻尼谐振子运动方程，通过非局部阻尼项引入记忆效应。
• 分析该非局部系统的经典与量子动力学，特别关注局部复合律的破坏。
• 推导并表征该非局部系统的量子传播子，并与标准的 Caldirola-Kanai 传播子进行比较。
• 研究记忆效应如何改变量子力学中波包扩展的长期行为。

提出的方法

• 引入修正的运动方程：$\ddot{x} + 2\gamma\tanh(\gamma(t-t_0))\dot{x} + \omega^2 x = 0$，其中 $t_0$ 为固定初始时间，引入非局域性。
• 通过时变质量 $m(t) = m_0 \cosh^{-2}(\gamma(t-t_0))$ 推导经典哈密顿形式，得到非局域哈密顿量。
• 通过非局域哈密顿量的时间有序指数构造量子传播子，得到非局域传播子 $K(x,t;t_0)$。
• 利用二次哈密顿量形式推导传播子的显式形式，包括相位因子 $B(x,t;t_0)$。
• 对高斯波包的时间演化进行详细分析，以研究其扩展行为。
• 与标准 Caldirola-Kanai 模型比较概率密度的渐近行为，突出其在局域化方面的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 $\tanh(\gamma(t-t_0))$ 引入非局域阻尼项，如何影响阻尼谐振子的动力学？
• RQ2 为何该系统的经典与量子动力学违反局部复合律，其含义是什么？
• RQ3 记忆参数 $t_0$ 如何影响系统的演化及其量子传播子？
• RQ4 在该非局域量子系统中，高斯波包的长期行为如何？与自由或 Caldirola-Kanai 情况有何不同？
• RQ5 此处推导的非局域量子传播子能否与标准阻尼振子的已知几何推导相联系？

主要发现

• 非局域阻尼项 $2\gamma\tanh(\gamma(t-t_0))\dot{x}$ 引入记忆效应，将 $t_0$ 固定为初始时间，破坏了经典与量子动力学的局部复合律。
• 由非局域哈密顿量导出的量子传播子 $K(x,t;t_0)$ 不满足局部复合律 $K(x_2,t_2;x_0,t_0) = \int dx_1 K(x_2,t_2;x_1,t_1)K(x_1,t_1;x_0,t_0)$，而标准 Caldirola-Kanai 传播子则满足。
• 对于高斯波包，概率密度 $\rho(x,t;t_0)$ 渐近趋近于有限宽度 $\sigma_{\rm asympt} = \sigma \left[1 + \left(\frac{\hbar}{m_0\gamma\sigma}\right)^2\right]$，从而防止完全扩展。
• 渐近位置为 $x_{\rm asympt} = x_0 + \frac{p_0}{m_0\gamma}$，与 Caldirola-Kanai 结果 $x_{\rm CK, asympt} = x_0 + \frac{p_0}{2m_0\gamma}$ 不同。
• 该非局域传播子与近期从标准阻尼振子推导出的几何传播子一致，证实其物理起源来自非局域方程 (2)。
• 系统的动力学由非局域哈密顿量控制，时间演化是非马尔可夫的，因为未来状态依赖于初始时间 $t_0$。