[论文解读] Merging percolation on $Z^d$ and classical random graphs: Phase transition

Tatyana S. Turova, Thomas Vallier|ArXiv.org|Dec 21, 2006

Complex Network Analysis Techniques参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{Z}^d$ 上的一种随机图模型，该模型将长程随机边与短程键渗流叠加，显示出类似于经典随机图的二阶相变。关键结果识别出一个临界阈值 $c^{\text{cr}}(p)$，使得当 $c < c^{\text{cr}}(p)$ 时，最大连通分量为 $O(\log |B(N)|)$，而当 $c \geq c^{\text{cr}}(p)$ 时，随着 $N \to \infty$，以高概率出现大小为 $\Theta(|B(N)|)$ 的巨大连通分量。分析利用了非齐次随机图理论，并推导出分量大小缩放的显式公式。

ABSTRACT

We study a random graph model which is a superposition of the bond percolation model on $Z^d$ with probability $p$ of an edge, and a classical random graph $G(n, c/n)$. We show that this model, being a {\it homogeneous} random graph, has a natural relation to the so-called "rank 1 case" of {\it inhomogeneous} random graphs. This allows us to use the newly developed theory of inhomogeneous random graphs to describe the phase diagram on the set of parameters $c\geq 0$ and $0 \leq p

研究动机与目标

• 分析结合 $\mathbb{Z}^d$ 上短程键渗流与 $G(n,c/n)$ 模型中长程随机边的随机图模型的连通性相变。
• 确定在叠加模型中巨大连通分量出现的临界阈值 $c^{\text{cr}}(p)$。
• 利用非齐次随机图理论工具，表征相变上下方最大连通分量的渐近大小。
• 建立 $c^{\text{cr}}(p)$ 与 $p^{\text{cr}}(c)$ 之间的对偶性，表明对于任意 $c < 1$，存在唯一的 $p^{\text{cr}}(c) < p_c(d)$，使得巨大连通分量出现。

提出的方法

• 模型 $G_N(p,c)$ 定义为在 $B(N) = \{-N,\dots,N\}^d$ 上的键渗流（边概率为 $p$）与经典随机图 $G(n,c/n)$（边概率为 $c/|B(N)|$）的叠加。
• 分析使用非齐次随机图理论，特别是‘秩1’情形，将该模型与已知的分量大小分布结果关联起来。
• 关键方程包括 $c^{\text{cr}}(p) = 1/\mathbb{E}|C|$，其中 $|C|$ 是键渗流模型中一个簇的大小，以及通过方程 $\mathbb{E}[c|C|e^{c|C|y}] = 1$ 定义的 $\alpha(p,c)$。
• 通过簇大小分布的收敛性推导最大分量的渐近行为：$\nu_N(k) \to \rho(k)\mu(k)$，其中 $\rho(k)$ 满足一个不动点方程。
• 使用集中不等式和指数尾部界（例如，$\mathbb{P}\{|C|=k\} \sim e^{-\zeta(p)k}$）来控制分量大小分布的尾部。
• 证明了当 $N \to \infty$ 时，$\mathbb{P}\left\{ \left| \frac{C_1(G_N(p,c))}{|B(N)|} - \beta \right| > \varepsilon \right\} \to 0$，其中 $\beta$ 是方程 $\beta = 1 - \mathbb{E}[e^{-c\beta|C|}]$ 的最大解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{Z}^d$ 键渗流与 $G(n,c/n)$ 随机图叠加模型中，巨大连通分量出现的临界阈值 $c^{\text{cr}}(p)$ 是什么？
• RQ2 当 $c < c^{\text{cr}}(p)$ 时，最大连通分量的大小如何随 $N$ 变化？
• RQ3 当 $c \geq c^{\text{cr}}(p)$ 时，最大分量的渐近大小是多少，它如何依赖于 $p$ 和 $c$？
• RQ4 是否存在 $c^{\text{cr}}(p)$ 与 $p^{\text{cr}}(c)$ 之间的对偶性，使得对每个 $c < 1$，存在唯一的 $p^{\text{cr}}(c) < p_c(d)$，使得相变发生？
• RQ5 对于所有 $c < c^{\text{cr}}(p)$，最大分量是否保持为 $O(\log |B(N)|)$，且上界 $\alpha(p,c)$ 是否是紧的？

主要发现

• 当 $c < c^{\text{cr}}(p)$ 时，$G_N(p,c)$ 中最大连通分量以高概率为 $O(\log |B(N)|)$，且阈值 $\alpha(p,c)$ 通过方程 $\mathbb{E}[c|C|e^{c|C|y}] = 1$ 的解定义。
• 当 $c \geq c^{\text{cr}}(p)$ 时，最大分量随 $|B(N)|$ 线性增长，其渐近比例 $\beta(p,c)$ 是方程 $\beta = 1 - \mathbb{E}[e^{-c\beta|C|}]$ 的最大解。
• 临界阈值 $c^{\text{cr}}(p) = 1/\mathbb{E}|C|$ 在 $[0, p_c)$ 上连续且严格递减，满足 $c^{\text{cr}}(0) = 1$ 且 $c^{\text{cr}}(p_c) = 0$。
• 当 $d=1$ 时，该模型是精确可解的：$c^{\text{cr}}(p) = (1-p)/(1+p)$，且 $p^{\text{cr}}(c) = (1-c)/(1+c)$，表明 $c$ 与 $p$ 之间存在完美的对偶性。
• 相变为二阶相变，类似于经典随机图，巨大连通分量在 $c$ 跨过 $c^{\text{cr}}(p)$ 时连续出现。
• 本文未解决上界 $\alpha(p,c)$ 是否紧的问题，即当 $c < c^{\text{cr}}(p)$ 时，是否对所有 $\alpha_1 < \alpha(p,c)$ 都有 $\mathbb{P}\{C_1 > \alpha_1 \log |B(N)|\} \to 0$。