[论文解读] Meromorphic almost periodic functions

S. Favorov, Natalia D. Parfyonova|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Meromorphic and Entire Functions被引用 5

一句话总结

本文引入了复带形区域上的亚纯几乎周期函数，通过使用球面度量，将解析几乎周期函数推广至更广范畴。证明了任一亚纯几乎周期函数均可表示为两个解析几乎周期函数的商，建立了此类函数的博赫纳准则，并对由此类函数产生的零点与极点集合（即除子）给出了完整刻画，表明这些除子必须是几乎周期且分离的，且具有相等的“c-除子”不变量。

ABSTRACT

We study meromorphic functions in a strip almost periodic with respect to the spherical metric. Then we get a complete description of zeros and poles for this class of functions, find a condition for a meromorphic almost periodic function to be a quotient of two holomorphic almost periodic function, find a necessary and suficient condition for sum and product of almost periodic meromorphic functions to be almost periodic.

研究动机与目标

• 通过复带形区域上的球面度量，定义并研究亚纯几乎周期函数。
• 研究亚纯几乎周期函数类在加法与乘法下是否封闭。
• 对与亚纯几乎周期函数对应的除子（零点与极点集合）进行刻画。
• 证明任一亚纯几乎周期函数均可表示为两个解析几乎周期函数的商。
• 提供一对几乎周期集可作为亚纯几乎周期函数的零点与极点集合的条件。

提出的方法

• 通过在子带形区域 S′⊂⊂S 上，利用球面度量下 ε-S′-几乎周期的相对密度来定义亚纯几乎周期函数。
• 利用亚纯函数在紧集上关于球面度量的一致连续性来控制扰动。
• 应用博赫纳的几乎周期性准则，通过平移序列的收敛性来刻画亚纯几乎周期函数。
• 利用先前研究中关于几乎周期除子及其“c-除子”不变量的结果（如 [11,12]），分析零点与极点集合。
• 利用实向量空间 R ∧_Z R 的结构来刻画除子的 c-不变量，并将其与具有指定零点集合的解析几乎周期函数的存在性联系起来。
• 证明：一个除子 d 是某亚纯几乎周期函数的除子，当且仅当其正部与负部满足：分离、几乎周期，且 c-不变量相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过球面度量及子带形区域上几乎周期的相对密度来刻画亚纯几乎周期函数类？
• RQ2 两个亚纯几乎周期函数的和或积是否仍为亚纯几乎周期函数？
• RQ3 在何种条件下，一对分离的几乎周期集可作为某亚纯几乎周期函数的零点与极点集合？
• RQ4 是否每个亚纯几乎周期函数都可表示为两个解析几乎周期函数的商？
• RQ5 c-不变量在决定一个除子是否源于亚纯几乎周期函数中起何作用？

主要发现

• 亚纯几乎周期函数类在加法与乘法下不封闭，反例包括 sin(√2πz) 与 1/sin(πz)。
• 任一亚纯几乎周期函数均可表示为两个解析几乎周期函数的商，这是关键的结构结果。
• 亚纯几乎周期函数列的一致极限仍为亚纯几乎周期函数，保证了其在一致收敛下的封闭性。
• 亚纯几乎周期函数的零点与极点构成几乎周期集，且在分离意义下满足：对任意子带形区域 S′⊂⊂S，有 inf{|z−z′| : z∈N, z′∈P} > δ(S′,f) > 0。
• 在带形区域 S 中，一个除子 d 是某亚纯几乎周期函数的除子，当且仅当：(i) 零点集与极点集分离；(ii) 两者均为几乎周期除子；(iii) 其 c-不变量相等。
• 除子 d 的 c-不变量属于 R ∧_Z R，且 c(d⁺) = c(d⁻) 是存在具有除子 d 的亚纯几乎周期函数的充要条件。