[论文解读] Meromorphic almost rigid geometric structures

Sorin Dumitrescu|ArXiv.org|May 29, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文研究复流形上亚刚性亚纯几何结构的性质，重点分析其局部 Killing 李代数，以对具有全纯刚性几何结构的紧致复流形进行分类。研究结果表明，紧致复流形上无迹的亚纯刚性结构导致有限维、传递的 Killing 代数，从而在无需假设群作用的情况下得出强有力的分类结果。

ABSTRACT

We study the local Killing Lie algebra of meromorphic almost rigid geometric structures on complex manifolds. This leads to classification results for compact complex manifolds bearing holomorphic rigid geometric structures.

研究动机与目标

• 理解复流形上亚纯几乎刚性几何结构的局部 Killing 李代数的结构。
• 对 admit 全纯刚性几何结构（特别是无迹结构）的紧致复流形进行分类。
• 将 Gromov 和 Zimmer 关于‘大’作用保持刚性结构的猜想推广至复解析情形。
• 证明全 holomorphic 刚性即使在不假设等距群作用的情况下，也蕴含强结构约束。
• 建立紧致复流形上无迹亚纯刚性结构的 Killing 代数的有限性与传递性。

提出的方法

• 将阶数为 $ r $ 的亚纯几何结构定义为从 $ r $-标架丛 $ R^r(M) $ 到具有代数 $ D^r(\bbC^n) $-作用的拟射影簇的 $ D^r(\bbC^n) $-等变映射。
• 引入‘几乎刚性’的概念，即在余维数至少为 2 的真解析子集之外，刚性性质成立。
• 将无迹结构定义为在正则点集上唯一确定全纯体积形式的结构。
• 利用由 Killing 向量场条件 $[X, \nabla_Y Z] = \nabla_{[X,Y]} Z + \nabla_Y [X,Z]$ 导出的微分方程，分析此类结构的局部 Killing 李代数。
• 应用 Levi 的延拓原理与亚纯映射的余维数 2 不确定性，证明在双解析映射下，亚纯结构的拉回仍为亚纯结构。
• 应用 Riemann-Roch 与 Serre 对偶性，计算具有受控极点的二次微分形式空间的维数，以支持分类论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 复流形上亚纯几乎刚性几何结构的局部 Killing 李代数具有何种结构？
• RQ2 在何种条件下，紧致复流形上的亚纯刚性结构会导致有限维、传递的 Killing 代数？
• RQ3 是否可以在不假设大群作用的前提下，获得全纯刚性几何结构的分类结果？
• RQ4 亚纯结构在双解析映射下如何表现，特别是与非退化性及无迹性相关时？
• RQ5 无迹性对全纯 Killing 向量场的存在性与有限性的含义是什么？

主要发现

• 紧致复流形上亚纯几乎刚性几何结构的局部 Killing 李代数是有限维且传递的。
• 对于无迹亚纯刚性结构，Killing 代数是有限维的，并在正则点集上作用传递。
• 复曲面上的一般亚纯仿射联络没有非平凡的全纯 Killing 向量场，表明其在 Gromov 意义下具有刚性。
• 与一般亚纯仿射联络相关联的射影联络当且仅当两个不变量 $ L_1 $ 与 $ L_2 $ 为零时是射影平坦的，而这种情况在一般情形下成立。
• 具有至多一个二阶极点的紧致黎曼曲面上的二次微分形式空间的复维数为 $ 3g - 1 $，此结果由 Riemann-Roch 与 Serre 对偶性得出。
• 仿射型的亚纯刚性结构（如亚纯黎曼度量或联络）在双解析映射下拉回后仍保持为类似结构，且在例外子集外保持非退化性。