[论文解读] Meromorphic Kazhdan-Lusztig equivalence for Yangians and quantum loop algebras

Sachin Gautam, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 8

一句话总结

该论文在有限维的 Yangian $Y_h(\mathfrak{g})$ 表示与量子环代数 $U_q(L\mathfrak{g})$ 表示之间构造了一个张量函子，当 $|q| \neq 1$ 时，建立了亚纯的辫子张量等价。该等价源于正则化的交换 $R$-矩阵，并证明了阿贝尔 $q$KZ 方程的 Kohno-Drinfeld 定理，将 Kazhdan-Lusztig 等价推广到了亚纯设置。

ABSTRACT

Let ${\mathfrak g}$ be a complex semisimple Lie algebra, and $Y_h({\mathfrak g})$, $U_q(L{\mathfrak g})$ the corresponding Yangian and quantum loop algebra, with deformation parameters related by $q=\exp(\pi i h)$. When $h$ is not a rational number, we constructed in arXiv:1310.7318 a faithful functor $\Gamma$ from the category of finite-dimensional representations of $Y_h({\mathfrak g})$ to those of $U_q(L{\mathfrak g})$. The functor $\Gamma$ is governed by the additive difference equations defined by the commuting fields of the Yangian, and restricts to an equivalence on a subcategory of $Y_h({\mathfrak g})$ defined by choosing a branch of the logarithm. In this paper, we construct a tensor structure on $\Gamma$ and show that, if $|q| eq 1$, it yields an equivalence of meromorphic braided tensor categories, when $Y_h({\mathfrak g})$ and $U_q(L{\mathfrak g})$ are endowed with the deformed Drinfeld coproducts and the commutative part of the universal $R$-matrix. This proves in particular the Kohno-Drinfeld theorem for the abelian $q$KZ equations defined by $Y_h({\mathfrak g})$, and may be regarded as a meromorphic version of the Kazhdan-Lusztig equivalence between category ${\mathcal O}$ representations of the affine algebra $\hat{\mathfrak g}$ and finite-dimensional representations of the quantum group $U_q{\mathfrak g}$. The tensor structure arises from the abelian $q$KZ equations defined by a appropriate regularisation of the commutative $R$-matrix of $Y_h({\mathfrak g})$.

研究动机与目标

• 在 $q = \exp(\pi i h)$ 且 $h$ 为无理数时，建立有限维 Yangian $Y_h(\mathfrak{g})$ 表示与量子环代数 $U_q(L\mathfrak{g})$ 表示之间的张量等价。
• 将已知的 Kazhdan-Lusztig 等价——最初针对范畴 $\mathcal{O}$ 和量子群——推广到涉及有限维表示的亚纯设置。
• 通过正则化的 $R$-矩阵，为从 $Y_h(\mathfrak{g})$-模到 $U_q(L\mathfrak{g})$-模的函子 $\Gamma$ 构造张量结构。
• 通过此张量等价，证明由 $Y_h(\mathfrak{g})$ 定义的阿贝尔 $q$KZ 方程的 Kohno-Drinfeld 定理。
• 证明当配备形变的 Drinfeld coproduct 和 universal $R$-矩阵的交换部分时，函子 $\Gamma$ 成为亚纯辫子张量范畴的等价。

提出的方法

• 该构造利用由 Yangian 的对易场控制的加法差分方程，定义从 $Y_h(\mathfrak{g})$-模到 $U_q(L\mathfrak{g})$-模的函子 $\Gamma$。
• 引入 $Y_h(\mathfrak{g})$ 的交换 $R$-矩阵的正则化版本，以在 $\Gamma$ 上定义张量结构，确保其与辫子张量范畴结构相容。
• 使用形变的 Drinfeld coproduct 为 $Y_h(\mathfrak{g})$ 和 $U_q(L\mathfrak{g})$ 赋予兼容的余代数结构，以满足张量范畴公理的需要。
• 通过选择对数的一个分支，在一个子范畴上建立等价性，确保该函子在此设定下是良定义且完全忠实的。
• 证明依赖于 $R$-矩阵的亚纯性质以及在正则化 $R$-矩阵下 $q$KZ 方程的解析性质。
• 结果表明 $\Gamma$ 上的张量结构与辫子结构相容，从而导出亚纯辫子张量范畴之间的等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在从 $Y_h(\mathfrak{g})$-模到 $U_q(L\mathfrak{g})$-模的函子 $\Gamma$ 上构造张量结构？
• RQ2 当 $|q| \neq 1$ 时，该张量结构是否能导出亚纯辫子张量范畴之间的等价？
• RQ3 能否通过此构造证明由 $Y_h(\mathfrak{g})$ 定义的阿贝尔 $q$KZ 方程的 Kohno-Drinfeld 定理？
• RQ4 正则化的交换 $R$-矩阵如何使 $Y_h(\mathfrak{g})$ 的函子成为一个良定义的张量函子？
• RQ5 该等价在多大程度上将 Kazhdan-Lusztig 等价推广到了亚纯框架？

主要发现

• 函子 $\Gamma$ 获得了来自 $Y_h(\mathfrak{g})$ 的正则化交换 $R$-矩阵的张量结构，使其与辫子张量范畴公理相容。
• 当 $|q| \neq 1$ 时，函子 $\Gamma$ 在配备形变的 Drinfeld coproduct 时，诱导出 $Y_h(\mathfrak{g})$ 与 $U_q(L\mathfrak{g})$ 之间亚纯辫子张量范畴的等价。
• 该构造证明了由 $Y_h(\mathfrak{g})$ 定义的阿贝尔 $q$KZ 方程的 Kohno-Drinfeld 定理，将其与量子 Knizhnik-Zamolodchikov 方程的单值性联系起来。
• 等价性在通过选择对数分支定义的 $Y_h(\mathfrak{g})$-模的一个子范畴上建立，确保了解析一致性。
• 该结果提供了 Kazhdan-Lusztig 等价的亚纯版本，将仿射李代数表示与量子群表示之间的经典对应关系加以推广。
• 张量结构被证明与 universal $R$-矩阵的交换部分相容，确保了在亚纯设置下的辫子相容性。