[论文解读] Meromorphic open-string vertex algebras and Riemannian manifolds

Yi-Zhi Huang|ArXiv.org|May 14, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 9

一句话总结

该论文从黎曼流形 $M$ 上的层的全局截面出发，利用协变导数和平行张量场，构建了一个亚纯开弦顶点代数 $V_M$ 及其模 $W_M$。关键结果是，流形 $M$ 上的拉普拉斯算子 $Δ$ 作为作用于 $W_M$ 中光滑函数的顶点算子的一个分量出现，从而在顶点代数框架下实现了几何微分算子的代数实现。

ABSTRACT

Let $M$ be a Riemannian manifold. For $p\in M$, the tensor algebra of the negative part of the (complex) affinization of the tangent space of $M$ at $p$ has a natural structure of a meromorphic open-string vertex algebra. These meromorphic open-string vertex algebras form a vector bundle over $M$ with a connection. We construct a sheaf $\mathcal{V}$ of meromorphic open-string vertex algebras on the sheaf of parallel sections of this vector bundle. Using covariant derivatives, we construct representations on the spaces of complex smooth functions of the algebras of parallel tensor fields. These representations are used to construct a sheaf $\mathcal{W}$ of left $\mathcal{V}$-modules from the sheaf of smooth functions. In particular, we obtain a meromorphic open-string vertex algebra $V_{M}$ of the global sections on $M$ of the sheaf $\mathcal{V}$ and a left $V_{M}$-module $W_{M}$ of the global sections on $M$ of the sheaf $\mathcal{W}$. By the definitions of meromorphic open-string vertex algebra and left module, we obtain, among many other properties, operator product expansion for vertex operators. We also show that the Laplacian on $M$ is in fact a component of a vertex operator for the left $V_{M}$-module $W_{M}$ restricted to the space of smooth functions.

研究动机与目标

• 使用顶点代数结构为二维非线性 sigma 模型提供一个数学框架。
• 通过代数几何与表示理论，解决在弯曲目标空间上构造具有相互作用的量子场论的挑战。
• 在顶点代数设定下，将黎曼流形上的拉普拉斯算子实现为一个顶点算子的分量。
• 通过平行截面与协变导数，将顶点代数的构造从平坦空间推广到弯曲流形。
• 基于层论，从 $M$ 上的光滑函数构造亚纯开弦顶点代数及其模。

提出的方法

• 利用切空间复仿射化负部分的张量代数，在 $M$ 上构造一个亚纯开弦顶点代数的向量丛。
• 从该向量丛的平行截面层出发，定义 $M$ 上的亚纯开弦顶点代数层 $\mathcal{V}$。
• 使用协变导数在光滑函数空间上定义 $\mathcal{V}$ 的表示，从而得到一个左 $\mathcal{V}$-模的层 $\mathcal{W}$。
• 将元素 $g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1) \in V_U$ 识别为一组标准正交标架的和，代表代数中的一个关键顶点算子。
• 应用正规排序乘积展开与顶点算子代数技术，计算 $Y_{W_U}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ 的 $x^{-2}$ 系数。
• 通过与里奇曲率收缩 $\sum_i \nabla^2_{E_i,E_i}$ 的识别，证明该系数在光滑函数上作用为拉普拉斯算子 $\Delta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从黎曼流形构造亚纯开弦顶点代数，以建模量子非线性 sigma 模型？
• RQ2 黎曼流形上的拉普拉斯算子能否在顶点代数框架下被实现为一个顶点算子的分量？
• RQ3 平行张量场与协变导数在定义顶点代数在光滑函数上的表示中起什么作用？
• RQ4 在 $M$ 上通过层论构造顶点代数及其模，如何反映曲率与联络等几何结构？
• RQ5 在此几何顶点代数设定下，算子乘积展开的代数意义是什么？

主要发现

• 流形 $M$ 上的拉普拉斯算子 $\Delta$ 被实现为作用于 $W_M$ 中光滑函数的顶点算子 $Y_{W_M}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ 的 $x^{-2}$ 系数。
• 当作用于 $f \in C^\infty(M)$ 时，顶点算子 $Y_{W_M}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ 的一个分量等于 $\Delta f$，从而将拉普拉斯算子识别为顶点算子的一个分量。
• 该构造从层 $\mathcal{V}$ 得到一个全局的亚纯开弦顶点代数 $V_M$，其中 $V_M$ 是 $\mathcal{V}$ 的全局截面空间。
• 模 $W_M$ 被构造为层 $\mathcal{W}$ 的全局截面空间，是 $M$ 上光滑函数的左 $V_M$-模。
• 顶点算子的算子乘积展开由亚纯开弦顶点代数及其模的定义推导得出。
• 通过将 $g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1)$ 与 $\sum_i (E_i|_p)(-1)(E_i|_p)(-1)\mathbf{1}$ 识别，实现了导致拉普拉斯算子的顶点算子计算。