[论文解读] Meromorphic tensor categories

Yan Soibelman|ArXiv.org|Sep 19, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文引入了亚纯张量范畴作为伪张量范畴的推广，采用参数空间上的运算层与 braid 群作用，取代对称群作用。它提出了一套用于有理函数、亚纯或解析关联性与交换性约束的范畴结构的公理化框架，适用于量子群、共形代数与 G-顶点代数，为表示理论与共形场论中非结合或依赖参数的代数运算提供了统一的公理化方法。

ABSTRACT

We introduce the notion of meromorphic tensor category and illustrate it in several examples. They include representations of quantum affine algebras, chiral algebras of Beilinson and Drinfeld, G-vertex algebras of Borcherds, and representations of GL over a local field. Hopefully the formalism will accomodate various tensor structures arising in relation to the quantized Knizhnik-Zamolodchikov equations and deformed CFT

研究动机与目标

• 开发一个具有有理函数、亚纯或解析关联性与交换性约束的范畴结构的公理化框架，尤其适用于传统结合律失效的情形。
• 通过用参数空间上的层（或亚纯截面）取代操作集合，推广伪张量范畴，实现依赖参数的代数关系。
• 用 braid 群作用于操作取代对称群作用，从而实现有辫子或有手性的范畴结构。
• 为诸如量子仿射代数、GL(n,F) 的允许表示、经典与 q-变形共形代数以及 G-顶点代数等例子提供范畴基础。
• 统一并形式化群作用下代数结构中“有理结合律”的概念，尤其在顶点代数与共形场论的背景下。

提出的方法

• 通过带边收缩的标记平面树范畴定义严格单oidal 2-操作，其态射为树的收缩。
• 通过树 $T$ 索引的操作集合族 $P_T(\{X_i\}, Y)$ 定义 ${\cal T}$-伪单oidal 范畴，配备 2-操作中态射 $f$ 的函子性映射 $\phi_f$。
• 构造编码树复合中操作粘合的复合映射 $\Phi$，确保与 2-操作结构的传递性。
• 用 braid 群作用于操作取代对称群作用，以建模有辫子或有手性的结构，推广对称单oidal 范畴。
• 使用群概形（如 $G^n$）上的有理函数或亚纯函数层表示操作，实现在 Zariski 开子集上的有理结合律条件。
• 将该框架应用于在伪张量范畴中定义李代数，区分 $Lie^*$-代数与弱共形代数，其中共形代数是具有单位的特殊情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准结合律失效时，如何对具有群作用的代数结构中的有理函数或亚纯结合律进行公理化？
• RQ2 如何推广对称单oidal 范畴，以包含依赖参数的操作与 braid 群对称性？
• RQ3 如何将共形代数与顶点代数重新解释为亚纯伪辫子范畴中的代数？
• RQ4 q-变形共形代数能否被形式化为具有在 $q^n$ 处有奇点的矩阵值函数的亚纯范畴中的辫子结构？
• RQ5 局部 Virasoro 群在将 G-顶点代数构造为亚纯伪张量 G-范畴中的结合代数中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了亚纯张量范畴作为伪张量范畴的推广的正式形式，采用操作层与 braid 群作用，取代对称群作用。
• 通过要求代数群 $G$ 的 $G^n$ 上操作的相容性，提供了有理结合律的框架，其中结合律在 $G^n$ 的 Zariski 开子集上成立。
• G-顶点代数的构造被解释为亚纯伪张量 $G$-范畴中的结合代数，其操作通过 $v^g = \exp(zL_{-1})v$ 定义。
• 共形代数被表征为具有自然单位的弱共形代数，通过 ${\cal D}$-模理论推广至任意曲线。
• 该框架将已知例子（如量子仿射代数的有限维表示与 $GL(n,\mathbf{F})$ 的允许表示）统一于同一范畴结构之下。
• 本文提出，q-变形共形代数可被建模为在亚纯 ${\bf C}^*$-范畴中的辫子李代数，其函数在 $q^n$ 处有奇点，从而扩展了顶点代数中“局部性”的概念。