[论文解读] Mertens' theorem and prime number theorem for Selberg class

Yoshikatsu Yashiro|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文将默滕斯第三定理和素数定理推广至L-函数的塞尔伯格类。通过利用佩罗尼公式、复分析及零点自由区域估计，本文建立了塞尔伯格类中素数上欧拉积的渐近公式，表明该积以 $ c_{-m} e^{eta m} ( ext{log} hinspace x)^m $ 的形式增长，误差项为 $ O(e^{-C_F ext{sqrt{log} hinspace x}}) $，并证明了系数求和函数对应的素数定理，其误差项类似。

ABSTRACT

In 1874, Mertens proved the approximate formula for partial Euler product for Riemann zeta function at $s=1$, which is called Mertens' theorem. In this paper, we generalize Mertens' theorem for Selberg class and show the prime number theorem for Selberg class.

研究动机与目标

• 将原本针对黎曼ζ函数的默滕斯第三定理推广至更广泛的塞尔伯格类L-函数。
• 为扩展的塞尔伯格类 $\mathcal{S}^\#$ 中的函数建立素数定理，推广经典 $\zeta(s)$ 结果。
• 为塞尔伯格类中欧拉积与系数求和函数推导精确的渐近公式，并给出显式误差项。
• 证明当假设零点自由区域条件 (II) 而非仅素数定理时，素数定理的误差项可得到改进。

提出的方法

• 应用佩罗尼公式，将 $F(s)$ 的对数导数与素数及素数幂的和联系起来。
• 利用复分析与围道积分，计算部分欧拉积的积分表示。
• 利用 $F(s)$ 在 $\mathcal{S}^\#$ 中的函数方程与解析延拓性质，控制 $s=1$ 附近的性质。
• 施加零点自由区域条件 (II)，将误差项从 $O(1/\log x)$ 改进为 $O(e^{-C_F\sqrt{\log x}})$。
• 应用部分求和技巧，将 $b_F(p)/p$ 的和转化为 $b_F(p)\log p / p$ 的和，从而推导出素数定理。
• 利用拉马努金猜想与对数导数展开 $\log F(s) = \sum b_F(n)n^{-s}$，控制系数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将默滕斯第三定理（给出 $\prod_{p\leq x} (1 - 1/p)^{-1}$ 的渐近公式）推广至塞尔伯格类中的L-函数？
• RQ2 素数定理对 $\zeta(s)$ 的结果能否推广至扩展的塞尔伯格类 $\mathcal{S}^\#$ 中的函数，并保持类似的误差项？
• RQ3 对于 $F \in \mathcal{S}^\#$，欧拉积 $\prod_{p\leq x} \prod_{j=1}^k (1 - \alpha_j(p)/p)^{-1}$ 的精确渐近形式为何？误差项如何依赖于零点自由区域？
• RQ4 与仅假设素数定理相比，假设零点自由区域 (II) 如何改进素数定理中的误差项？
• RQ5 广义默滕斯常数 $M$ 能否显式地用系数 $b_F(p^r)$ 与留数 $c_{-m}$ 表示？

主要发现

• 对于 $F \in \mathcal{S}^\#$，广义默滕斯定理表明 $\prod_{p\leq x} \prod_{j=1}^k (1 - \alpha_j(p)/p)^{-1} = c_{-m} e^{\gamma m} (\log x)^m (1 + O(e^{-C_F\sqrt{\log x}}))$，其中 $c_{-m} = \lim_{s\to 1} (s-1)^m F(s)$。
• 在零点自由区域条件 (II) 下，默滕斯型积的误差项被改进为 $O(e^{-C_F\sqrt{\log x}})$，优于仅假设素数定理时的 $O(1/\log x)$。
• 塞尔伯格类的素数定理被确立为 $\sum_{n\leq x} b_F(n) \log n = m x + O(x e^{-C_F^{\prime\prime}\sqrt{\log x}})$，其中 $C_F^{\prime\prime} < C_F$。
• 广义默滕斯常数 $M$ 显式定义为 $\log c_{-m} + m\gamma - \sum_p \sum_{r=2}^\infty \frac{b_F(p^r)}{p^r}$，该表达式控制了素数上对数和的常数项。
• 证明表明，素数定理中的误差项与零点自由区域直接相关：区域越大，误差项越小。
• 结果恢复并改进了已知的戴德金ζ函数 $\zeta_K(s)$ 的定理，其中 $\alpha_K = \text{Res}_{s=1} \zeta_K(s)$，且误差项为 $O(e^{-C_K\sqrt{\log x}})$。