[论文解读] Metallic maps between metallic Riemannian manifolds and constancy of certain maps

Mehmet Akif Akyol|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过施加类似全纯的条件，引入了在金属黎曼流形之间的金属映射，建立了此类映射为调和或全测地线的充分条件。主要贡献在于证明：在与几乎复、几乎接触或伪接触结构具有特定相容性条件下，这些映射必然为常值映射，但铜情况（p=1, q=2）存在一个关键例外。

ABSTRACT

In this paper, we introduce metallic maps between metallic Riemannian manifolds, provide an example and obtain certain conditions for such maps to be totally geodesic. We also give a sufficient condition for a map between metallic Riemannian manifolds to be harmonic map. Then we investigate the constancy of certain maps between metallic Riemannian manifolds and various manifolds by imposing the holomorphic-like condition. Moreover, we check the reverse case and show that some such maps are constant if there is a condition for this.

研究动机与目标

• 通过施加类似全纯的条件，定义并研究在金属黎曼流形之间的金属映射。
• 建立此类映射为调和或全测地线的充分条件。
• 研究从或到具有几乎复、几乎接触或伪接触结构的流形的金属映射在何种情况下为常值映射。
• 确定此类映射被迫为常值的条件，包括识别例外情况。

提出的方法

• 通过要求映射的微分与金属结构张量场 $J$ 交换，来引入在金属黎曼流形之间的金属映射。
• 使用金属结构的定义方程 $J^2 = pJ + qI$，其中 $p, q$ 为正整数。
• 在流形 $(M_1, g_1, J_1)$ 与 $(M_2, g_2, J_2)$ 之间应用类似全纯的条件 $F_* J_1 = J_2 F_*$，以推导相容性关系。
• 利用目标流形的结构方程，推导 $F_*(X)$、$F_*(J_1X)$ 与里布向量场 $\xi$ 之间的线性相关关系。
• 通过重复应用结构自同态（$J$、$\phi$、$\phi'$）和度量相容性条件，推导出向量场恒等式。
• 证明所得方程组强制对所有 $X$ 有 $F_*(X) = 0$，从而表明 $F$ 为常值映射，除非在伪接触情况下 $p^2 = (q-1)^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，金属黎曼流形之间的金属映射为调和映射？
• RQ2 在何种条件下，金属黎曼流形之间的金属映射为全测地线映射？
• RQ3 从金属黎曼流形到几乎接触度量流形的光滑映射满足 $F_* J_1 = \phi F_*$ 时，何时保持非常值？
• RQ4 参数 $p$ 和 $q$ 在决定此类映射的常值性方面起什么作用？
• RQ5 当目标流形为伪接触度量流形时，是否存在常值结果的例外情况？

主要发现

• 满足 $F_* J_1 = J' F_*$ 的光滑映射 $F$，从金属黎曼流形 $(M_1, g_1, J_1)$ 到几乎复流形 $(M', J')$，为常值映射。
• 满足 $F_* J_1 = \phi F_*$ 的光滑映射 $F$，从金属黎曼流形 $(M_1, g_1, J_1)$ 到几乎接触度量流形 $(M, \phi, \xi, \eta, g)$，为常值映射。
• 满足 $F_* J_1 = \phi' F_*$ 的光滑映射 $F$，从金属黎曼流形 $(M_1, g_1, J_1)$ 到几乎伪接触度量流形 $(N', \phi', \xi', \eta', g')$，若 $p^2 \neq (q-1)^2$，则为常值映射。
• 常值结果的例外出现在 $p^2 = (q-1)^2$ 时，包括铜情况（$p=1, q=2$），此时可能存在非常值映射。
• 此类映射的常值性源于一组强制 $F_*(X) = 0$ 的向量场恒等式，该结果通过重复应用结构自同态和度量相容性条件得出。
• 本文证明，金属结构上的类似全纯条件 $F_* J_1 = J_2 F_*$ 导致线性相关性，使微分坍缩为零，从而表明映射为常值。