[论文解读] Metaplectic Ice for Cartan Type C

Nathan Gray|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文引入了一类新的可解晶格模型——'马蒂普莱克冰'（metaplectic ice）——适用于卡坦型 C，该模型推广了带有 U 形折返和域墙边界条件的六顶点模型。通过杨-巴克斯特方程，作者推导出分划函数 $ Z_\lambda $ 的函数方程，表明其满足与 $ SO(2r+1) $ 的 $ n $ 重覆盖上的马蒂普莱克 Whittaker 函数相同的恒等式，为 $ Z\_\lambda $ 是型 C 上的球对称 Whittaker 函数提供了强有力证据。

ABSTRACT

We use techniques from statistical mechanics to provide new formulas for Whittaker coefficients of metaplectic Eisenstein series on odd orthogonal groups, matching Friedberg and Zhang. We study a particular variation/generalization of the six-vertex model of Cartan type C having "domain-wall boundary conditions" dependent on a given integer partition $λ$ of length at most $r$, where $r$ is a fixed positive integer. More precisely, we examine a planar, non-nested, U-turn model whose partition functions $Z_λ$ are a generalization of a deformation of characters of the symplectic group $\operatorname{Sp}(2r, \mathbb{C})$. Special cases appeared in: Kuperberg; Hamel and King; Brubaker, Bump, Chinta, and Gunnells; Ivanov. Our main result is that these new families of "metaplectic" models are solvable---i.e., they possess Yang--Baxter equations. We use this to derive two types of functional equations involving $Z_λ$ corresponding to the two root lengths for simple reflections of the symplectic Weyl group. It is widely believed that the local component of metaplectic Eisenstein series is a metaplectic Whittaker function, though this is subtle owing to the lack of uniqueness of Whittaker models and only verified in type A by McNamara. Thus, we also give evidence for the conjecture that $Z_λ$ is a spherical Whittaker function by showing that $Z_λ$ satisfies the same identities under our solution to the Yang--Baxter equation as the metaplectic Whittaker function under intertwining operators on the unramified principal series of an $n$-fold metaplectic cover of $\operatorname{SO}(2r + 1)$, for $n$ odd.

研究动机与目标

• 为型 C 的辛群构造一类新的精确可解晶格模型——'马蒂普莱克冰'，推广带有 U 形折返和域墙边界条件的六顶点模型。
• 通过证明杨-巴克斯特方程存在解，建立该模型的可解性，从而实现分划函数的精确计算。
• 证明分划函数 $ Z_\lambda $ 满足与在互换算子作用下马蒂普莱克 Whittaker 函数相同的函数方程。
• 通过匹配函数恒等式，为 $ Z_\lambda $ 是 $ SO(2r+1) $ 的 $ n $ 重马蒂普莱克覆盖（$ n $ 为奇数）上的球对称 Whittaker 函数提供证据。
• 通过用简洁的杨-巴克斯特推导替代冗长的晶体基论证，显著简化文献中先前证明的复杂度。

提出的方法

• 形式化定义了一个平面的、非嵌套的、带有 U 形折返的晶格模型，其域墙边界条件由长度不超过 $ r $ 的整数分拆 $ \lambda $ 索引，用于模拟辛群的特征。
• 引入含参数 $ z_1, z_2, v, n $ 和函数 $ g(a) $ 的玻尔兹曼权重，通过 $ n $ 次单位根和 $ a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ 的结构体现马蒂普莱克性质。
• 推导并验证了 32 种不同顶点构型的杨-巴克斯特方程，证明该模型的可积性，并实现 $ Z_\lambda $ 的精确计算。
• 利用杨-巴克斯特方程推导出 $ Z_\lambda $ 的两类函数方程，分别对应于辛 Weyl 群中的两种根长。
• 将 $ Z_\lambda $ 的函数方程与 $ \widetilde{SO}(2r+1) $ 的未分支摄动系列上的马蒂普莱克 Whittaker 函数的函数方程进行比较，发现完全一致。
• 运用表示论与统计力学中的代数技术，包括转移矩阵和互换算子，建立两者之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为卡坦型 C 中的马蒂普莱克 Whittaker 函数构造一个类似于型 A 中已知模型的可解晶格模型？
• RQ2 该新模型的分划函数 $ Z_\lambda $ 是否在互换算子作用下满足与马蒂普莱克 Whittaker 函数相同的函数方程？
• RQ3 是否存在对 $ SO(2r+1) $ 的 $ n $ 重马蒂普莱克覆盖（$ n $ 为奇数）上的球对称 Whittaker 函数的直接统计力学实现？
• RQ4 能否显式求解该带有 U 形折返和域墙边界条件的模型的杨-巴克斯特方程，以确保其可积性？
• RQ5 $ Z_\lambda $ 的函数恒等式在多大程度上与马蒂普莱克 Whittaker 函数的恒等式相匹配，从而为二者相等提供证据？

主要发现

• 作者构造了一类新的适用于卡坦型 C 的可解晶格模型，推广了带有 U 形折返和域墙边界条件的六顶点模型。
• 为 32 种不同的顶点构型显式构造了杨-巴克斯特方程的解，证明了该模型的可积性，并实现了 $ Z_\lambda $ 的精确计算。
• 分划函数 $ Z_\lambda $ 满足两类函数方程，分别对应于辛 Weyl 群中的两种根长，其行为与马蒂普莱克 Whittaker 函数一致。
• $ Z_\lambda $ 的函数方程与 $ SO(2r+1) $ 的 $ n $ 重马蒂普莱克覆盖（$ n $ 为奇数）的未分支摄动系列上的马蒂普莱克 Whittaker 函数的函数方程完全一致，为 $ Z_\lambda $ 是此类 Whittaker 函数提供了强有力证据。
• 通过用直接代数计算替代冗长的晶体基论证，杨-巴克斯特解将文献中先前证明的复杂度（例如 [11] 中的数十页）显著简化至约十几页。
• 该模型为型 C 中的马蒂普莱克 Whittaker 函数提供了统计力学实现，将已知的型 A 对应关系拓展至其他半单群。