[论文解读] Metaplectic tensor products for automorphic representations of $\widetilde{GL}(r)$

Shuichiro Takeda|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文为 $n$-重叠的米塔格-克莱因群 $\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$ 上的自守表示构建了全局的梅佐型梅塔普莱克特张量积，推广了梅佐的局部构造。在一项技术假设下（当 $n=2$ 时始终成立），证明了在 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 上存在一个自守表示 $\pi$，其在每处局部同构于梅佐的局部梅塔普莱克特张量积，并表明在该构造下，主形式性与模中心的平方可积性得以保持。

ABSTRACT

Let $M=GL_{r_1} imes\cdots imes GL_{r_k}\subseteq GL_r$ be a Levi subgroup of $GL_r$, where $r=r_1+\cdots+r_k$, and $ ilde{M}$ its metaplectic preimage in the metaplectic cover $ ilde{GL}_r$ of $GL_r$. For automorphic representations $π_1,\dots,π_k$ of $ ilde{GL}_{r_1}(\A),\dots, ilde{GL}_{r_k}(\A)$, we construct an automorphic representation $π$ of $ ilde{M}(\A)$ which can be considered as the "tensor product" of the representations $π_1,\dots,π_k$. This is the global analogue of the metaplectic tensor product defined by P. Mezo in the sense that locally at each place $v$, $π_v$ is equivalent to the local metaplectic tensor product of ${π_1}_v,\dots,{π_k}_v$ defined by Mezo. Then we show that if all of $π_i$ are cuspidal (resp. square-integrable modulo center), then the metaplectic tensor product is cuspidal (resp. square-integrable modulo center). We also show that (both locally and globally) the metaplectic tensor product behaves in the expected way under the action of a Weyl group element, and show the compatibility with parabolic inductions.

研究动机与目标

• 将 P. 梅佐在 $\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$ 上的局部梅塔普莱克特张量积构造推广至自守表示的全局设定。
• 建立局部-全局相容性，确保全局构造在每处都与梅佐的局部张量积一致。
• 证明梅塔普莱克特张量积保持关键的表示论性质：主形式性与模中心的平方可积性。
• 研究该张量积在 Weyl 群作用与抛物诱导下的行为。
• 确定构造在 $n > 2$ 时良定义的条件，并证明当 $n=2$ 或满足某些最大公因数条件时，这些条件成立。

提出的方法

• 将全局梅塔普莱克特张量积 $\pi = \widetilde{\otimes}'_v \pi_v$ 构造为局部表示 $\pi_v$ 的受限张量积，其中每个 $\pi_v$ 同构于梅佐的 $\pi_{1,v}, \dots, \pi_{k,v}$ 的局部梅塔普莱克特张量积。
• 对 Levi 子群 $M$ 和覆盖次数 $n$ 施加假设 ($\ast$)，以确保全局构造的存在性；当 $n=2$ 时，该假设始终成立。
• 利用梅塔普莱克特覆盖 $\widetilde{\mathrm{GL}}_r$ 及其在 $\widetilde{\mathrm{GL}}_r$ 中的提升 $\widetilde{M}$ 的结构，通过与局部分量的相容性来定义全局表示。
• 应用关于 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 中算术子群的闭性与离散性的结果，特别是当 $n=2$ 时，以确保所得表示的自守性。
• 利用受限张量积构造，将 $\pi$ 定义为 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 上自守形式的子表示，利用 $\pi_i$ 的单位性与子表示假设。
• 分析 Weyl 群与抛物诱导的作用，以证明张量积构造的相容性与不变性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 梅佐的局部梅塔普莱克特张量积构造能否被推广至 $\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$ 上的全局自守设定？
• RQ2 在何种条件下，$\widetilde{\mathrm{GL}}_{r_i}(\mathbb{A})$ 上自守表示的全局梅塔普莱克特张量积会给出 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 上一个良定义的自守表示？
• RQ3 全局梅塔普莱克特张量积是否保持输入表示的主形式性？
• RQ4 梅塔普莱克特张量积在 Weyl 群作用与抛物诱导下如何表现？
• RQ5 对于 $n > 2$，$n$ 与分划 $r = r_1 + \cdots + r_k$ 的精确数论条件是什么，以确保构造的有效性？

主要发现

• 全局梅塔普莱克特张量积 $\pi$ 存在，且同构于受限张量积 $\widetilde{\otimes}'_v \pi_v$，其中每个 $\pi_v$ 是梅佐的局部梅塔普莱克特张量积。
• 若所有输入表示 $\pi_1, \dots, \pi_k$ 均为主形式，则所得全局表示 $\pi$ 也为主形式。
• 若所有 $\pi_i$ 均为模中心的平方可积表示，则 $\pi$ 也为模中心的平方可积表示。
• 该构造与 Weyl 群的作用相容，即张量积在 $\pi_i$ 的 Weyl 群置换下按预期变换。
• 该构造与抛物诱导相容，保持标准诱导函子下的预期结构。
• 当 $n=2$ 时，技术假设 ($\ast$) 始终成立，构造无需额外假设即可成立；当 $n>2$ 时，其在如 $\gcd(n, r-1+2cr)=1$ 等条件下成立。