[论文解读] Metastability for systems of interacting neurons

Eva Löcherbach, Pierre Monmarché|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Neural dynamics and brain function参考文献 22被引用 13

一句话总结

该论文在具有超临界突触权重 h 的 N 个相互作用神经元系统中建立了非平衡行为，证明了平均放电率在 N 的指数时间内保持在非平凡平衡附近。通过耦合与大偏差技术，表明当 N → ∞ 时，从平衡邻域的重标化解散时间依分布收敛于指数分布，从而在具有足够大 h 的饱和放电率函数下确认了亚稳态行为。

ABSTRACT

We study a stochastic system of interacting neurons and its metastable properties. The system consists of $N$ neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the neuron potential is reset to $0$ and all other neurons receive an additional amount $h/N$ of potential. In between successive spike times, each neuron looses potential at exponential speed. We study this system in the supercritical regime, that is, for sufficiently high values of the synaptic weight $h.$ Under very mild conditions on the spiking rate function, is has been shown in Duarte and Ost \cite{do} that the only invariant distribution of the finite system is the trivial measure $ \delta_{\bf 0}$ corresponding to extinction of the process. Under minimal conditions on the behavior of the spiking rate function in the vicinity of $0$, we prove that the extinction time arrives at exponentially late times in $ N$, and discuss the stability of the equilibrium $\delta_{\bf 0}$ for the non-linear mean-field limit process depending on the parameters of the dynamics. We then specify our study to the case of saturating spiking rates and show that, under suitable conditions on the parameters of the model, 1) the non-linear mean-field limit admits a unique and globally attracting equilibrium and 2) the rescaled exit times for the mean spiking rate of a finite system from a neighbourhood of the non-linear equilibrium rate converge in law to an exponential distribution, as the system size diverges. In other words, the system exhibits a metastable behavior.

研究动机与目标

• 在具有高突触权重的有限相互作用神经元系统中，形式化并数学证明亚稳态行为。
• 分析超临界参数区域（大 h）下系统的长时间动力学行为，其中灭绝几乎是必然的，但被延迟。
• 在系统规模 N → ∞ 的极限下，建立从亚稳态邻域解散时间的重标化版本收敛于指数分布的结论。
• 识别非线性平均场极限中唯一且全局吸引的非平凡平衡态存在的条件。
• 通过耦合与大偏差方法，严格证明亚稳态的三个关键要素：快速返回、缓慢逃逸与快速热化。

提出的方法

• 引入一个连续时间的随机过程（PDMP）模型，用于描述具有漏电膜电位和由突触权重 h/N 引发的放电事件的 N 个相互作用神经元。
• 采用两个系统路径的耦合技术，其跳跃时间与初始条件完全相同，以分析路径收敛性与混合时间。
• 引入一个简化的辅助过程 Z^N，利用大偏差原理（LDP）对总放电率进行估计，从而推导出灭绝时间的下界。
• 应用大偏差估计控制轨迹偏离平均场路径的概率，特别是在亚稳态附近的区域。
• 借鉴 Brassesco、Olivieri 与 Vares 的框架，验证亚稳态的三个核心要素：快速返回、缓慢逃逸与快速热化。
• 采用时间分裂论证与指数矩界，控制耦合过程中异步放电与过程发散的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种放电率函数 λ 的条件下，有限系统会表现出具有指数级典型寿命的亚稳态行为？
• RQ2 当 N → ∞ 时，从非平凡平衡邻域的重标化解散时间是否依分布收敛于指数分布？
• RQ3 在非线性平均场极限中，何种条件可确保非平凡不变测度的唯一性与全局吸引性？
• RQ4 耦合技术与大偏差估计如何在该非可逆、不可对偶的系统中建立亚稳态的三个核心要素？
• RQ5 在超临界参数区域中，灭绝时间的精确标度是什么？其如何依赖于突触权重 h 与导数 λ′(0)？

主要发现

• 当放电率函数为饱和型且满足 λ′(0)h > α 时，非线性平均场极限存在唯一且全局吸引的非平凡平衡态。
• 当 N → ∞ 时，平均放电率从非平凡平衡邻域的重标化解散时间依分布收敛于指数分布。
• 在有限系统中，灭绝时间关于 N 呈指数增长，当 λ′(0)h 足够大时，有 P(灭绝时间 > e^{cN}) → 1（其中 c > 0）。
• 耦合过程 (U^N, ˜U^N) 满足：对任意 ζ ∈ (0,1]，有 P(U^N(Nζ) ≠ ˜U^N(Nζ)) ≤ Ce^{-θNζ}，从而在时间尺度 Nζ 上确认了快速热化。
• 系统表现出对亚稳态邻域的快速返回与缓慢逃逸，且逃逸时间关于 N 呈指数增长，从而确认了亚稳态行为区域的存在。
• 通过耦合与大偏差估计，建立了解散时间收敛于指数分布的结论，并给出了从亚稳态偏离概率的显式指数尾部界。