[论文解读] Methods for finding leader--follower equilibria with multiple followers

Nicola Basilico, Stefano Coniglio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Game Theory and Applications参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了计算多个参与者以纳什均衡进行博弈的领导者-追随者均衡（LFE–N）的精确与近似方法，解决了计算上困难的问题，该问题已被证明为FNP难，且除非P=NP，否则不属于Poly-APX。研究引入了非凸数学规划与全局优化技术，实现了每名玩家最多15个行动的博弈的精确解，以及每名玩家超过40个行动的实例的高质量近似解。

ABSTRACT

The concept of leader--follower (or Stackelberg) equilibrium plays a central role in a number of real--world applications of game theory. While the case with a single follower has been thoroughly investigated, results with multiple followers are only sporadic and the problem of designing and evaluating computationally tractable equilibrium-finding algorithms is still largely open. In this work, we focus on the fundamental case where multiple followers play a Nash equilibrium once the leader has committed to a strategy---as we illustrate, the corresponding equilibrium finding problem can be easily shown to be $\mathcal{FNP}$--hard and not in Poly--$\mathcal{APX}$ unless $\mathcal{P} = \mathcal{NP}$ and therefore it is one among the hardest problems to solve and approximate. We propose nonconvex mathematical programming formulations and global optimization methods to find both exact and approximate equilibria, as well as a heuristic black box algorithm. All the methods and formulations that we introduce are thoroughly evaluated computationally.

研究动机与目标

• 解决在多个追随者以纳什均衡博弈时，领导者-追随者均衡计算缺乏计算上可行的算法的问题。
• 确立LFE–N问题的计算难度，表明其为FNP难问题，且除非P=NP，否则不属于Poly-APX，即使在多矩阵博弈中亦然。
• 为乐观与悲观的LFE–N情形设计新颖的非凸数学规划公式与全局优化方法。
• 使用最先进的求解器，在标准型博弈与多矩阵博弈上对所提方法进行全面评估。
• 展示方法在大规模实例上的可扩展性，包括每名玩家超过40个行动、结果数超过64,000的博弈。

提出的方法

• 为乐观LFE–N情形提出双层优化公式，通过非凸非线性规划建模领导者承诺与追随者最佳响应的纳什均衡。
• 采用基于空间分支定界法的全局优化求解器（BARON、SCIP、CPLEX）求解中等规模博弈的精确解。
• 针对悲观LFE–N情形，因标准单层重构方法不适用，结合全局优化与黑箱优化技术。
• 特别针对多矩阵博弈调整公式，此类博弈在安全与多智能体应用中常见。
• 使用RBFOpt与SNOPT作为局部优化求解器，为大规模实例计算高质量近似解。
• 采用标准化的GAMUT生成测试集，用于在不同行动数的标准化型与多矩阵博弈上进行评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算多个以纳什均衡博弈的追随者参与的LFE–N是否在计算上可行，其复杂度类为何？
• RQ2 能否为乐观与悲观的LFE–N变体开发精确与近似求解方法，特别是在标准重构方法失效时？
• RQ3 在不同规模与结构的博弈中，全局与局部优化技术在求解LFE–N问题上的表现如何比较？
• RQ4 所提方法在每名玩家超过40个行动的大型博弈中可扩展到何种程度？
• RQ5 基于支配关系的剪枝技术是否适用于LFE–N，抑或该问题本质上对这类优化具有抗性？

主要发现

• LFE–N问题被证明为FNP难，且除非P=NP，否则不属于Poly-APX，即使在多矩阵博弈中亦然，表明其为最难求解与近似的问题之一。
• 全局优化求解器（BARON、SCIP、CPLEX）成功求解了三名玩家、每名玩家最多15个行动的标准化型博弈的精确LFE–N解。
• 对于标准化型博弈，方法在每名玩家超过40个行动的实例中，实现了乘法差距小于35%的近似解。
• 对于多矩阵博弈，方法在每名玩家超过45个行动的实例中，实现了乘法差距小于30%的近似解。
• 所评估的最大实例包含超过64,000种不同结果，证明了其在规模上超越先前纳什均衡发现算法的可扩展性。
• 研究结果表明，基于支配关系的剪枝技术不适用，因为判断领导者某一行动是否可被剔除是NP难的。