[论文解读] Methods for verified stabilizing solutions to continuous-time algebraic Riccati equations

Tayyebe Haqiri, Federico Poloni|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Numerical Methods and Algorithms参考文献 29被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种基于改进的Krawczyk方法与定点法的验证计算方法，用于求解连续时间代数Riccati方程（CAREs）的镇定解。通过利用基变换、区间算术以及一种新型的斜率矩阵公式化方法，该方法实现了O(n³)复杂度的验证包围，相较于先前的最先进算法在多个基准测试中表现更优，即使在闭环矩阵不可对角化时仍保持可靠性。

ABSTRACT

We describe a procedure based on the Krawczyk method to compute a verified enclosure for the stabilizing solution of a continuous-time algebraic Riccati equation $A^*X+XA+Q=XGX$ building on the work of [B.~Hashemi, \emph{SCAN} 2012] and adding several modifications to the Krawczyk procedure. We show that after these improvements the Krawczyk method reaches results comparable with the current state-of-the-art algorithm [Miyajima, \emph{Jpn. J. Ind. Appl. Math} 2015], and surpasses it in some examples. Moreover, we introduce a new direct method for verification which has a cubic complexity in term of the dimension of $X$, employing a fixed-point formulation of the equation inspired by the ADI procedure. The resulting methods are tested on a number of standard benchmark examples.

研究动机与目标

• 开发验证性数值方法，计算包含连续时间代数Riccati方程（CAREs）唯一镇定解的严格区间矩阵包围。
• 通过降低计算复杂度并最小化区间算术中的包裹效应，提升CAREs验证计算的效率与可靠性。
• 通过引入一种不依赖矩阵可对角化性的新型定点公式化方法，解决现有方法在非对角化或病态闭环矩阵下的局限性。
• 为计算得到的解包围提供镇定性质的验证保证（即A - GX的Hurwitz稳定性）。
• 在一组标准CARE测试问题上，对所提方法与最先进算法进行基准测试与性能比较。

提出的方法

• 通过利用Hamiltonian矩阵的不变子空间结构进行基变换，将Krawczyk方法适配于CAREs，减少区间算术运算并最小化包裹效应。
• 采用受非验证Riccati求解器启发的基变换，重新表述CARE，使得镇定解具有有界范数，从而实现更紧致的区间包围。
• 用代数推导出的表达式替代标准区间Jacobian计算以获得更小、更精确的区间包围，从而改进斜率矩阵的估计。
• 基于ADI迭代框架提出CARE的一种新型定点公式化方法，实现每步迭代O(n³)的复杂度，且无需闭环矩阵可对角化。
• 实现验证程序，通过检查A - GX的所有特征值是否位于开左半平面，来确认计算得到的区间解的镇定性质。
• 使用区间算术与验证线性代数（如验证矩阵分解）确保所有运算（包括特征值计算）均被严格包围。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过基变换与改进的斜率矩阵估计，增强Krawczyk方法，以实现性能优异且包围更紧致的验证CARE解？
• RQ2 通过不变子空间变换重新表述CARE，是否能导致条件更好的问题，并在验证计算中实现更优的区间包围？
• RQ3 基于ADI过程的定点方法是否能在闭环矩阵为亏损或近乎亏损时，为Krawczyk方法提供可靠的替代方案？
• RQ4 所提方法与[25]中的最先进算法相比，在计算成本、可靠性与包围质量方面表现如何？
• RQ5 验证方法在矩阵维数n上的可扩展性如何？其在实际中是否保持O(n³)的复杂度？

主要发现

• 改进的Krawczyk方法在性能上与[25]中的最先进算法相当，且在多个基准示例中实现了更紧致的解包围。
• 新型定点方法成功处理了闭环矩阵不可对角化或病态的情形，而基于Krawczyk的方法可能在这些情况下失效。
• 所有四种测试方法（H、M、K、F）的实验结果表明，其随矩阵维数n的增长近似满足O(n³)复杂度，测试范围为10至1000。
• 方法M（基于[25]）在实践中速度最快，但方法K（改进的Krawczyk）更可靠，尤其在病态问题中失败频率更低。
• 方法F的失败率最高，但在闭环矩阵不可对角化的情况下表现独特有效，体现出其特定应用场景下的优势。
• 在最大测试案例（n = 1000）中，仅方法K成功验证了解及其镇定性质，凸显其在极端情况下的鲁棒性。