[论文解读] Methods of arbitrary optimal order with tetrahedral finite-element meshes forming polyhedral approximations of curved domains

Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的有限元方法，用于在三维曲面域中使用直边四面体网格求解具有狄利克雷边界条件的二阶边值问题。通过采用在真实边界点处插值边界条件的多项式试函数，同时对测试函数使用标准自由度，该方法在能量范数下实现了最优收敛速率，并获得了前所未有的 $L^2$-误差估计，其精度优于等参数技术，计算更为简便，且无需使用曲面单元或有理函数积分。

ABSTRACT

In recent papers the author introduced a simple alternative to isoparametric finite elements of the n-simplex type, to enhance the accuracy of approximations of second-order boundary value problems with Dirichlet conditions, posed in smooth curved domains. This technique is based upon trial-functions consisting of piecewise polynomials defined on straight-edged triangular or tetrahedral meshes, interpolating the Dirichlet boundary conditions at points of the true boundary. In contrast the test-functions are defined upon the standard degrees of freedom associated with the underlying method for polytopic domains. While method's mathematical analysis for both second- and fourth-order problems in two-dimensional domains was carried out in arxiv NA-1701.00663 and in a submitted paper, this article is devoted to the study of the three-dimensional case, in which the method is nonconforming. Well-posedness, uniform stability and optimal a priori error estimates in the energy norm are demonstrated for a tetrahedron-based Lagrange family of finite elements. Novel L2-error estimates for the class of problems considered in this work are also proved. A series of numerical examples illustrates the potential of the new technique. In particular its better accuracy at equivalent cost as compared to the isoparametric technique is highlighted. Moreover the great generality of the new approach is exemplified through a method with degrees of freedom other than nodal values.

研究动机与目标

• 开发一种有限元方法，可在不依赖等参数单元的前提下，对三维曲面域中的高阶近似保持最优收敛速率。
• 克服三维几何中插值边界条件（IBC）的局限性，如节点点选择受限和实现复杂等问题。
• 为度数大于1的四面体拉格朗日单元提供数学上严谨的框架，具备适定性、一致稳定性以及最优先验误差估计。
• 与等参数方法相比，证明该方法在处理复杂非线性问题和网格生成方面具有更高的精度和效率。
• 将方法的适用范围从节点自由度扩展至边和面基自由度，以增强一般性。

提出的方法

• 该方法使用在直边四面体网格上定义的分段多项式试函数，其在真实曲边界上的点处插值狄利克雷边界条件，而不仅限于网格顶点。
• 测试函数通过多边形域对应有限元空间的标准自由度构造，保持与经典伽辽金格式的一致性。
• 该公式为佩特罗夫-伽辽金方法，即使在对称问题中也会导致非对称系统矩阵，但保持了最优收敛特性。
• 多项式被积函数使精确数值积分成为可能，避免了等参数方法中常见的求积规则和有理函数积分。
• 该方法适用于任意高阶拉格朗日单元（度数 >1），并可自然推广至非节点自由度，如边或面平均值。
• 网格生成保持简单且鲁棒，仅使用直边单元，消除了等参数单元中常见的负雅可比问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于直边四面体网格的有限元方法是否能对三维曲面域中的二阶边值问题实现最优收敛速率？
• RQ2 当狄利克雷条件在非顶点边界点处指定时，所提方法是否仍能保持最优的 $L^2$-误差估计？
• RQ3 与等参数有限元技术相比，该方法在曲面域中的精度和计算成本表现如何？
• RQ4 该方法能否推广至非节点自由度（如边或面平均值）并保持最优收敛性？
• RQ5 该方法在粗网格下是否依然稳健？是否在无需精细网格假设的情况下保持稳定性和收敛性？

主要发现

• 在标准正则性假设下，该方法对度数大于一的四面体拉格朗日有限元在能量范数下实现了最优收敛，误差界与网格尺寸无关。
• 首次为所考虑问题类建立了前所未有的 $L^2$-误差估计，确立了高阶方法在曲面域上的新精度基准。
• 数值示例表明，该方法在等价计算成本下精度优于等参数技术，尤其在处理非线性问题时表现更优。
• 即使狄利克雷条件在边界边或面的中点处指定，该方法仍保持最优收敛，无阶数降低现象。
• 多项式代数的使用使得单元矩阵可实现精确积分，避免了求积带来的误差，并简化了复杂非线性问题的实现。
• 该方法在粗网格下依然稳健，即使当 $h$ 达到域直径的一半时，仍观察到一致的收敛行为，表明其在实际应用中超越渐近假设的适用性。