[论文解读] Methods of Differential Geometry in Classical Field Theories: k-symplectic and k-cosymplectic approaches

Manuel de León, Modesto Salgado+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 59

一句话总结

本文利用 k-辛 和 k-余辛 结构，为经典场论构建了一个几何框架，将哈密顿力学与拉格朗日力学推广至具有多个自变量的场论。该研究建立了哈密顿-德唐德尔-外尔方程的 k-辛 和 k-余辛 形式，提供了变分基础，并将这些结构与多重辛形式联系起来，为波动方程、拉普拉斯方程以及麦克斯韦方程等场方程提供了一体化的微分几何方法。

ABSTRACT

This book is devoted to review two of the most relevant approaches to the study of classical field theories of first order, say k-symplectic and k-cosymplectic. In the last part, we relate the k-symplectic and k-cosymplectic manifolds with the multisymplectic theory.

研究动机与目标

• 通过引入 k-辛 和 k-余辛 结构，将辛几何从力学推广至场论。
• 利用 k-辛 和 k-余辛 流形，为哈密顿-德唐德尔-外尔方程提供几何表述。
• 通过 Poincaré-Cartan 形式，为 k-辛 和 k-余辛 场论建立变分基础。
• 将 k-辛 和 k-余辛 方法与标准的多重辛形式联系起来，阐明其相互关系。
• 展示该框架在具体场方程（如波动方程、静电场方程和麦克斯韦方程）中的适用性。

提出的方法

• 在 k¹-余速度的余切丛 (T¹ₖ)⁎Q 上引入 k-辛几何，使用 k 个辛形式和一个 k-切结构。
• 通过 k-向量场和满足 k-辛哈密顿-德唐德尔-外尔方程的积分横截面，定义 k-辛哈密顿系统。
• 在稳定余切丛 ℝᵏ×(T¹ₖ)⁎Q 上建立 k-余辛形式，使用一个闭的 1-形式 η 和 k 个闭的 2-形式 ωα。
• 构建 k-余辛 Legendre 变换，以在场论背景下关联拉格朗日与哈密顿表述。
• 应用该形式体系，推导出欧拉-拉格朗日方程与哈密顿-德唐德尔-外尔方程的 k-辛 和 k-余辛 形式。
• 利用 k-辛 和 k-余辛 流形上的 Darboux 坐标，将方程表达为局部形式，实现显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 k-辛 结构将辛几何推广至具有多个自变量的场论？
• RQ2 在 k-辛 和 k-余辛 框架下，哈密顿-德唐德尔-外尔方程的几何表述是什么？
• RQ3 k-辛 和 k-余辛 形式与标准的多重辛形式之间有何关系？
• RQ4 k-辛 和 k-余辛 方法能否一致地描述如波动方程和静电场方程等经典场论？
• RQ5 Poincaré-Cartan 形式与 Legendre 变换在 k-辛 和 k-余辛 拉格朗日与哈密顿表述中起什么作用？

主要发现

• k-辛形式体系通过 (T¹ₖ)⁎Q 上的 k-向量场与积分横截面，为哈密顿-德唐德尔-外尔方程提供了几何表征。
• k-余辛形式体系为非自治场论提供了自然设定，包含一个 Reeb 向量场和一个闭的 1-形式 η，从而在时间方向上实现演化方程。
• 在 Darboux 坐标下，k-辛结构的局部形式为 ωα = dqⁱ ∧ dpᵢα，而 k-余辛结构满足 η = dt 且 ωα = dqⁱ ∧ dpᵢα。
• 在适当的识别下（特别是通过切触丛与多重动量丛构造），k-辛 和 k-余辛 方法被证明与多重辛形式等价。
• 该框架成功描述了经典场方程：波动方程、拉普拉斯方程、有质量标量场以及真空中麦克斯韦方程均作为特例被导出。
• k-辛拉格朗日与哈密顿表述之间的 Legendre 变换被显式构造，将经典力学中的情形推广至具有 k 个自变量的场论。