[论文解读] Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti

Leonhard Euler|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 41

一句话总结

本文提出了一种基础性方法，用于求解变分问题，特别是等周问题，通过推导刻画具有极值性质曲线的微分方程——例如在固定周长下面积最大的曲线。欧拉引入了一套系统化的变分法方法，使用变分导数和第一积分，为后来数学物理和优化领域的进展奠定了基石。

ABSTRACT

This translation has been withdrawn due to certain imperfections and mistakes, which are corrected in the version uploaded at The Euler Archive (see E65 at http://www.eulerarchive.org/)

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于在给定约束下识别使特定性质最大化或最小化的曲线。
• 在最广泛的意义上解决经典的等周问题，即曲线必须围成一个固定面积。
• 形式化一种使用微分方程推导极值曲线的系统性方法。
• 为变分法作为一门独立数学学科的发展奠定基础。

提出的方法

• 应用变分法推导极值曲线的必要条件。
• 引入变分导数的使用，以分析泛函的极值。
• 从欧拉-拉格朗日方程推导自治问题的第一积分。
• 使用代换和约化技术简化描述极值曲线的微分方程。
• 将该方法应用于具体情形，包括等周问题。
• 建立一个通用框架，用于求解涉及积分约束极值的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地确定在固定约束下使给定性质最大化或最小化的曲线？
• RQ2 何种微分方程刻画了等周问题中极值曲线的特征？
• RQ3 变分原理如何应用于推导几何和物理问题中极值的必要条件？
• RQ4 何种通用方法可用于求解涉及曲线上积分优化的问题？

主要发现

• 欧拉推导出变分问题在固定边界条件下最基本的微分方程（现称为欧拉-拉格朗日方程）。
• 证明了对于自治泛函，存在第一积分，从而简化了解题过程。
• 通过证明解为圆，解决了等周问题，验证了经典的几何直觉。
• 建立了一套通用程序，将变分问题约化为可解的微分方程。
• 引入了“变分”作为变分法中基础性工具的概念。
• 为后来数学物理和优化领域的发展奠定了理论基础。