[论文解读] Metric axioms: a structural study

Jorge Bruno, Ittay Weiss|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过研究固定集合 X 上与度量公理由权重结构组成的集合，对度量公理（分离性、对称性、三角不等式和同一性）进行了范畴论与序理论分析。它建立了这些集合之间的伴随关系，并证明了每个有限格均可嵌入扩展度量格的 n-初等区间中，从而通过格论与范畴论为度量空间提供了结构基础。

ABSTRACT

For a fixed set $X$, an arbitrary extit{weight structure} $d \in [0,\infty]^{X imes X}$ can be interpreted as a distance assignment between pairs of points on $X$. Restrictions (i.e. extit{metric axioms}) on the behaviour of any such $d$ naturally arise, such as separation, triangle inequality and symmetry. We present an order-theoretic investigation of various collections of weight structures, as naturally occurring subsets of $[0,\infty]^{X imes X}$ satisfying certain metric axioms. Furthermore, we exploit the categorical notion of adjunctions when investigating connections between the above collections of weight structures. As a corollary, we present several lattice-embeddability theorems on a well-known collection of weight structures on $X$.

研究动机与目标

• 研究固定集合 X 上满足各种度量公理的权重结构集合的序理论与范畴论结构。
• 探索由不同度量公理子集（如对称性、三角不等式）定义的权重结构集合之间的伴随关系。
• 分析度量结构如何通过左、右 ϵ-球诱导出拓扑，并比较由此产生的拓扑构造。
• 建立扩展度量格的格嵌入定理，表明每个有限格均可嵌入 Met(X) 的 n-初等区间中。
• 在扩展度量的格中刻画 Menger 凸性及其对偶，建立拓扑性质与度量性质之间的联系。

提出的方法

• 对环境空间 $[0,\infty]^{X\times X}$ 进行逐点序化，将满足公理集 P 的每个权重结构集合 $W_P$ 转化为一个完全格。
• 对每个不属于 P 的度量公理 M，定义伴随关系 $M_*$ 和 $M_!$，为包含关系 $W_{P\cup M} \hookrightarrow W_P$ 提供左、右伴随，从而实现自然的对称化及其他构造。
• 通过左、右 ϵ-球从度量结构构造拓扑，定义映射 $d \mapsto (\tau_L, \tau_R)$ 并分析其序理论性质。
• 利用 $d_\sim(a,b) = \alpha$（若 $a\sim b$），否则为 1 的构造（其中 $1 < \alpha < 2$），将等价关系嵌入扩展度量中，实现格嵌入。
• 通过将 $Eq(X)$ 嵌入此类区间，并利用 Pudlák 与 Tůma 关于有限格在 $Eq(X)$ 中可嵌入的结果，证明任意有限格均可嵌入 $Met(X)$ 的 n-初等区间中。
• 分析 n-初等区间的拓扑不变性：若 $d \prec_n m$ 且对所有 $x \neq y$ 有 $d(x,y) > 0$，则 $d$ 与 $m$ 在 $X$ 上生成相同的拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将非对称权重结构的对称化过程形式化为范畴论中的伴随关系？
• RQ2 当三角不等式不成立时，左、右 ϵ-球生成的拓扑之间有何关系？
• RQ3 在 n-初等区间中，何种条件下两个权重结构在 $X$ 上诱导出相同的拓扑？
• RQ4 是否每个有限格都可嵌入某个有限集 $X$ 上的扩展度量格中？
• RQ5 Menger 凸性与扩展度量格中 1-初等极大性之间存在何种关系？

主要发现

• 对于某个有限集 $X$，每个有限格均可嵌入 $Met(X)$ 的 n-初等区间中，其中 $n = \frac{|X|(|X|-1)}{2}$，从而建立了强有力的格嵌入结果。
• 若 $d \prec_n m$ 且对所有 $x \neq y$ 有 $d(x,y) > 0$，则 $d$ 与 $m$ 在 $X$ 上生成相同的拓扑，表明 n-初等区间的拓扑不变性。
• 从扩展度量到拓扑对 $(\tau_L, \tau_R)$ 的映射 preserves 交与并，且是序保持的。
• 任何 Menger 凸或 Menger ∗ 凸的度量结构，分别对应于 1-初等极大或极小，将几何凸性与度量格中的极值性联系起来。
• 构造 $d_\sim(a,b) = \alpha$（若 $a\sim b$），否则为 1（其中 $1 < \alpha < 2$）将等价关系格 $Eq(X)$ 嵌入 $\psi^{-1}(\top)$，即拓扑映射下离散拓扑的原像。
• 扩展度量格 $Met(X)$ 具有完全的序理论结构，其中交与并对应于逐点下确界与上确界，且所有此类运算均保持度量公理。