[论文解读] Metric connections in projective differential geometry

Michael Eastwood, Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文证明，其Levi-Civita联络属于给定射影类的黎曼度量，恰好对应于一个射影不变的、有限类型的线性偏微分方程组的适当正定解。通过延拓该系统，作者表明这些度量等价于由射影结构的Cartan联络导出的向量丛上具有联络的协变常值截面，从而为射影几何中的度量联络提供了几何刻画。

ABSTRACT

We search for Riemannian metrics whose Levi-Civita connection belongs to a given projective class. Following Sinjukov and Mikes, we show that such metrics correspond precisely to suitably positive solutions of a certain projectively invariant finite-type linear system of partial differential equations. Prolonging this system, we may reformulate these equations as defining covariant constant sections of a certain vector bundle with connection. This vector bundle and its connection are derived from the Cartan connection of the underlying projective structure.

研究动机与目标

• 确定流形上的射影结构在何种条件下允许存在度量联络（即来自黎曼度量的Levi-Civita联络）。
• 利用一组线性、射影不变的偏微分方程来刻画此类度量。
• 将度量联络的存在性重新表述为由Cartan联络导出的向量丛中协变常值截面的存在性。
• 为理解射影结构的“移动度”提供几何与表示论框架。
• 通过曲率不变量与上同调条件，建立度量联络存在性的障碍。

提出的方法

• 将问题表述为寻找其测地线与给定射影类中的无 torsion 连接一致的黎曼度量。
• 利用射影等价条件（1.1）通过1-形式平移关联射影类内的连接。
• 引入一个刻画射影类内度量联络的线性偏微分方程组（方程2.3）。
• 将该系统延拓为一阶系统，其在向量丛上具有联络，表明解对应于协变常值截面。
• 从射影结构的Cartan联络构造tractor丛及其联络，确保射影不变性。
• 分析曲率分量，特别是Weyl张量与Ricci张量，以推导平坦性与常曲率度量的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定流形上的射影结构允许存在度量联络？
• RQ2 此类度量的存在性如何从代数与几何角度刻画？
• RQ3 Weyl曲率与Ricci张量在决定射影结构是否支持度量联络方面起何作用？
• RQ4 移动度——即线性系统（2.3）解空间的维数——与射影结构的几何之间有何关系？
• RQ5 在射影平坦度量的背景下，Weyl曲率的消失具有何种几何意义？

主要发现

• 当且仅当存在一个适当正定解时，射影结构才允许存在度量联络，该解属于一个射影不变的、有限类型的线性偏微分方程组。
• 控制度量联络的方程组（2.3）可被延拓为一个定义协变常值截面的系统，这些截面属于由Cartan联络导出的向量丛上的联络。
• 射影结构的移动度——即（2.3）解空间的维数——有上界 (n+1)(n+2)/2，且当且仅当结构为平坦时取等。
• 当 n ≥ 3 时，射影平坦度量必为常曲率度量；此结论由Weyl曲率的消失及Riemann曲率张量中标量曲率的主导性所证明。
• 当 n = 2 时，张量 Yabc（类比于Weyl曲率）的消失刻画了射影平坦性，且此类度量亦为常曲率。
• 在 R^n 原点附近，射影平坦度量的一般形式为 g^{ab} = det(σ) σ^{ab}，其中 σ^{ab} 为形如 s^{ab} + x^a m^b + x^b m^a + x^a x^b r 的二次型，且 s^{ab} 为正定。