[论文解读] Metric Diophantine approximation for systems of linear forms via dynamics

Dmitry Kleinbock, G. A. Margulis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过动力学方法，建立了 $∞^n$ 中任意有限个光滑非退化子流形在线性型系统中的联合强极小性。通过证明在 $∞^{m+n}$ 中格空间上测度平移的广义定量非发散估计，将度量丢番图逼近理论从单个形式扩展到依赖系统，表明此类测度是强极小的，因此子流形中几乎所有矩阵都不是非常良好地可乘逼近的。

ABSTRACT

The goal of this paper is to generalize the main results of [KM] and subsequent papers on metric Diophantine approximation with dependent quantities to the set-up of systems of linear forms. In particular, we establish `joint strong extremality' of arbitrary finite collection of smooth nondegenerate submanifolds of ${\bold R}^n$. The proofs are based on generalized quantitative nondivergence estimates for translates of measures on the space of lattices.

研究动机与目标

• 将依赖量的度量丢番图逼近结果推广至 $m \times n$ 矩阵中的线性型系统。
• 在参数化诱导测度下，建立 $∞^n$ 中光滑非退化子流形的联合强极小性。
• 将齐性动力系统的框架扩展至 $M_{m,n}$ 上的测度，包括从 $∞^d$ 到 $M_{m,n}$ 的光滑映射所诱导的测度，以证明强极小性。

提出的方法

• 使用 $∞^{m+n}$ 中单模格空间上测度平移的广义定量非发散估计。
• 应用齐性流理论以控制与线性型小值相关的集合测度的衰减。
• 利用 $ \mathrm{SL}(m+n,\mathbb{R})$ -作用于齐性空间 $ \mathrm{SL}(m+n,\mathbb{R}) / \mathrm{SL}(m+n,\mathbb{Z})$ 的动力学来分析逼近性质。
• 通过将 [KM1] 中的技术扩展至矩阵设定，将非退化性的概念推广至型系统。
• 通过非发散估计证明，从 $∞^d$ 到 $M_{m,n}$ 的光滑非退化映射所诱导的测度是强极小的。
• 利用齐性与非齐性设定之间的对偶性原理，表明在收缩测度条件下，强极小性蕴含非齐性强极小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $M_{m,n}$ 的光滑子流形满足何种条件时，其黎曼体积测度是强极小的？
• RQ2 能否在 $m=1$ 之外的情形，使用动力学方法证明与线性型系统相关的测度的强极小性？
• RQ3 映射 $F: \mathbb{R}^d \to M_{m,n}$ 的非退化性与推出测度 $F_*\lambda$ 的极小性之间的确切关系为何？
• RQ4 在矩阵设定下，非常良好逼近矩阵与非常良好可乘逼近矩阵的概念在转置下如何表现？
• RQ5 在 $∞(m,n) > 1$ 的情况下，Khintchine 型定理能在多大程度上推广至 $M_{m,n}$ 的光滑子流形？

主要发现

• 对于任意光滑非退化映射 $F: \mathbb{R}^d \to M_{m,n}$，其推出测度 $F_*\lambda$ 是强极小的，即 $\mu$-几乎处处的 $Y \in M_{m,n}$ 都不是非常良好地可乘逼近的。
• 建立了 $∞^n$ 中任意有限个光滑非退化子流形的联合强极小性，推广了单形式情形。
• 证明了格空间上测度的广义定量非发散估计，并将其作为控制逼近速率的关键技术工具。
• 证明了测度 $F_*\lambda$ 几乎处处是强收缩的，这通过 [BV] 的结果意味着其具有非齐性强极小性。
• 本文确认了非常良好可乘逼近矩阵的集合具有零勒贝格测度，并将其推广至一大类光滑测度。
• 结果表明，对于任意固定的 $\mathbf{z} \in \mathbb{R}^m$，使得 $(Y,\mathbf{z})$ 为非常良好可乘逼近的矩阵 $Y$ 的集合，在 $F_*\lambda$ 下的测度为零。