[论文解读] Metric flips with Calabi ansatz

Jian Song, Yuan Yuan|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文研究了在复流形 $X_{m,n} = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(m+1)})$ 上具有 Calabi 对称性的 Kähler-Ricci 流，表明该流表现出度量翻转，并在 Gromov-Hausdorff 意义下解析了锥状奇点。关键结果是：该流要么坍缩为 $\mathbb{P}^n$，要么收缩为一点，或收缩一个余维数为 $m+1$ 的子簇，其极限取决于初始 Kähler 类参数，收敛于一个射影锥或光滑极限。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of the Kahler-Ricci flow on $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus (m+1)})$, assuming the initial metric satisfies the Calabi symmetry. We show that the flow either shrinks to a point, collapses to $\mathbb{P}^n$ or contracts a subvariety of codimension m+1 in Gromov-Hausdorff sense. We also show that the Kahler-Ricci flow resolves certain type of conical singularities in Gromov-Hausdorff sense.

研究动机与目标

• 理解在具有 Calabi 对称初始度量的一类射影 toric 流形 $X_{m,n}$ 上 Kähler-Ricci 流的极限行为。
• 通过 Kähler-Ricci 流建立代数手术（特别是翻转和除子收缩）的解析实现。
• 通过流解析锥状奇点，特别是在 $m=n$ 的情况下，以 Gromov-Hausdorff 意义实现。
• 证明流在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于极限空间，该极限空间依初始 Kähler 类参数而定，为一点、$\mathbb{P}^n$ 或射影锥 $Y_{m,n}$。

提出的方法

• 在 $X_{m,n}$ 上分析流，这是一个具有特殊子簇 $P_0$（余维数为 $m+1$）的射影 toric 流形，利用 Calabi 的试探法将 Kähler-Ricci 流约化为低维空间上的标量抛物型 PDE。
• 作者使用含参数族 $\omega_\delta(t) = \omega(t) + \delta\theta + \frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\bar{\partial}\varphi_\delta$ 的扰动方法，控制 $P_0$ 附近的奇点并建立一致估计。
• 推导出势函数 $u_\delta(t)$ 的 $C^0$ 和 $C^2$ 估计，表明在度量 $g(t)$ 下 $X_{m,n} \setminus P_0$ 的度量完备化具有有限直径，且与射影锥 $Y_{m,n}$ 同胚。
• 通过证明演化度量空间与极限空间 $Y_{m,n}$ 或 $\mathbb{P}^n$ 之间的距离函数 $D(t)$ 的连续性，确立 Gromov-Hausdorff 收敛性。
• 在 $m=n$ 的情况下，流在奇点锥 $Y_{n,n}$ 上继续进行，并通过证明在 $g(t)$ 下 $Y_{n,n}$ 的直径在 $t \to T$ 时趋于零，证明了有限时间灭绝。
• 分析依赖于在奇点轨迹附近的度量渐近估计，包括对 $u'$ 和 $u''$ 关于 $T-t$ 和径向坐标 $\rho$ 的界，确保一致控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 Calabi 对称性的 $X_{m,n}$ 上，Kähler-Ricci 流在 Gromov-Hausdorff 意义下何时收敛于光滑极限？
• RQ2 Kähler-Ricci 流能否在 Gromov-Hausdorff 拓扑下解析锥状奇点，特别是在 $m=n$ 的情况下？
• RQ3 流的极限行为如何依赖于初始 Kähler 类参数 $a_0$ 和 $b_0$？
• RQ4 流是否表现出度量翻转，即收缩一个余维数为 $m+1$ 的子簇？若然，其条件为何？
• RQ5 演化度量空间与极限空间之间的 Gromov-Hausdorff 距离 $D(t)$ 是否在奇异时刻 $T$ 之前保持连续？

主要发现

• 当 $m < n$ 且 $b_0/(m+2) > a_0/(n-m)$ 时，流在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于 $X_{m,n} \setminus P_0$ 的度量完备化，该完备化通过 Segre 映射同胚于 $\mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n$ 上的射影锥 $Y_{m,n}$。
• 当 $m < n$ 且 $b_0/(m+2) = a_0/(n-m)$ 时，流在 $t \to T = a_0/(n-m)$ 时在 Gromov-Hausdorff 意义下坍缩为一点。
• 当 $m < n$ 且 $b_0/(m+2) < a_0/(n-m)$ 时，流在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于 $\mathbb{P}^n$ 上的 Fubini-Study 度量的倍数，即 $(a_0 - \frac{n-m}{m+2}b_0)\omega_{FS}$。
• 当 $m \geq n$ 时，流收敛于 $\mathbb{P}^n$ 上相同的 Fubini-Study 度量，且流可在 $\mathbb{P}^n$ 上继续直至有限时间灭绝。
• 当 $m = n$ 时，$Y_{n,n} \setminus \{O\}$ 在 $g(t)$ 下的度量完备化直径在 $t \to T$ 时趋于零，证明了在奇点锥上有限时间灭绝。
• 演化空间与极限空间之间的 Gromov-Hausdorff 距离 $D(t)$ 在 $[0,T)$ 上连续，且 $\lim_{t \to 0} D(t) = 0$。